Grupo fundamental con Van Kampen

Question

Dejemos que $ U = \mathbb{S}^{1} \times \mathbb{S}^{1} - interior\ of\ a\ disc$ y $V=\mathbb{K} - interior\ of\ a\ disc$ , donde $\mathbb{K}$ es la botella Klein. Dejemos que $f : \partial U \to \partial V$ sea una función definida por $f(e^{i\theta})=e^{ni\theta}$ , donde $n$ es un número entero positivo. Calcule $\pi_{1}(M)$ donde $M = U \cup V$ donde $\partial U$ se identifica con $\partial V$ a través de $f$ .

Es como la suma conectada del toro y la botella klein, pero en lugar de pegar los límites de los discos, $\partial V$ se identifica con $\partial U$ dándole n vueltas. El uso del Teorema de Van Kampen parece ser el camino a seguir pero no sé qué hacer con el mapa de identificación. Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, esto se puede hacer por el teorema de Seifert-van Kampen. Espesar $U$ y $V$ dentro de $M$ para conseguir una tapa abierta $\{\mathcal{U}, \mathcal{V}\}$ de $M$ donde cada deformación de conjunto abierto se retrae a $U$ y $V$ respectivamente. $\mathcal{U} \cap \mathcal{V}$ deformación se retrae a $\partial U = \partial V = S^1$ .

Según el teorema de SvKT, $\pi_1(M) \cong \pi_1(\mathcal{U}) * \pi_1(\mathcal{V})/\langle i_{\mathcal{U}} i_{\mathcal{V}}^{-1} \rangle$ donde $i_{\mathcal{U}}$ es el mapa en $\pi_1$ inducido por la inclusión $\pi_1(\mathcal{U} \cap \mathcal{V}) \to \pi_1(\mathcal{U})$ y similares para $i_\mathcal{V}$ .

Tenga en cuenta que $U$ deformación se retrae a la figura de ocho, y $\partial U$ representa el bucle $aba^{-1}b^{-1}$ en el grupo fundamental de la figura ocho bajo la deformación retraída, donde $a$ y $b$ son bucles generadores en el $\pi_1$ de la figura del ocho. De la misma manera, $V$ deformación se retrae a la figura de ocho, y $\partial V$ representa el bucle $cdcd^{-1}$ en el grupo fundamental de la figura del ocho.

Ahora, estamos pegando $U$ y $V$ por el grado $n$ mapa $\partial U \to \partial V$ . Así, $i_\mathcal{U}$ envía el generador $1$ de $\pi_1( \mathcal{U} \cap \mathcal{V}) \cong \Bbb Z$ a $aba^{-1}b^{-1}$ en $\pi_1(\mathcal{U}) \cong \langle a,b\rangle$ y $i_\mathcal{V}$ envía el generador $1$ de $\pi_1(\mathcal{U} \cap \mathcal{V}) \cong \Bbb Z$ al elemento $(cdcd^{-1})^n$ en $\pi_1(\mathcal{V})\cong \langle c, d\rangle$ .

Así, $\pi_1(M) \cong F_4/\langle aba^{-1}b^{-1}(cdcd^{-1})^{-n} \rangle \cong \langle a, b, c, d | aba^{-1}b^{-1} = (cdcd^{-1})^n \rangle$ .