ODE no lineal $1+y'^2=yy'^2$ , $y(0)=b,y(a)=c$

Question

Cómo resolver $$1+y'^2=yy'^2?$$ La condición inicial es $y(0)=b,y(a)=c$ .

Es una EDO no lineal.

¡Alguna pista también es útil! ¡Gracias por su ayuda!

Answer 1

Tenemos $$1+(y')^2=y(y')^2$$ Dividir por $(y')^2$ para conseguir $$\frac{1}{(y')^2}=y-1$$

Resolvamos para $x=x(y)$ en lugar de para $y=y(x)$ . Entonces obtenemos la ecuación: $$x'=\sqrt{y-1}\ \ \ \ \ \ \text{We need to do the other sign of the square root too.}$$

Separe las variables ahora: $$\begin{align}dx&=\sqrt{y-1}dy\\x+C&=\frac{2}{3}(y-1)^{3/2}\\y&=\left[\frac{3}{2}(x+C)\right]^{2/3}+1\end{align}$$

Y tenemos que comprobar cuáles de estas soluciones sí satisfacen la ecuación original.