Descomposición del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie lineal general

Question

Hola a todos Tengo una pregunta, que $\mathfrak g = \mathfrak{gl}(n)$ sea el álgebra de Lie lineal general, y $U$ el álgebra envolvente de $\mathfrak g$ . Ahora consideramos $U$ como $\mathfrak g$ -Módulo $U^{\text{ad}}$ a través de la acción adjunta de $\mathfrak g$ Es decir, $x\cdot u = xu-ux$ para todos $x\in \mathfrak g$ y $u\in U$ .

$\bf My ~Question$ : ¿Cuál es el $\mathfrak g$ -descomposición de $U^{\text{ad}}$ en una suma directa de irreducibles $\mathfrak g$ -¿módulos? Gracias.

Answer 1

Para cualquier álgebra de Lie reductora $\mathfrak{g}$ el álgebra envolvente $U=U(\mathfrak{g})$ es isomorfo a $\mathrm{Sym}(\mathfrak{g})$ como $\mathfrak{g}$ -módulo. Este hecho es esencialmente el teorema de PBW: el $\mathrm{ad}(\mathfrak{g})$ -filtración estable $$U^{\leq d}=\mathbf{C} \{ x_1 \cdots x_e \ | \ x_i \in \mathfrak{g}, \ e \leq d \}$$ tiene un álgebra graduada asociada $\mathrm{Sym}(\mathfrak{g})$ y por reducibilidad completa $$U^{\leq d} \cong \bigoplus_{e \leq d} U^{\leq e}/U^{\leq e-1}$$ como $\mathfrak{g}$ -módulos.

Answer 2

Sí. Escribe $\mathfrak{g} := \mathfrak{gl}_n$ .

$\mathfrak{U}(\mathfrak{g})$ es una suma de dimensiones finitas $\mathfrak{g}$ -módulos. Esto se deduce de la siguiente identidad: $$\text{ad}x. (x_1 x_2 \cdots x_m) = \sum_{i = 1}^m x_1 \cdots [x, x_i] \cdots x_m.$$ Obsérvese que el corchete no cambia la longitud de la "palabra $x$ actúa sobre. Esto significa que el subespacio abarcado por los vectores base de PBW con una longitud no superior a $m$ es un submódulo de la acción adjunta. Usando de nuevo el teorema de PBW para obtener la afirmación. Obsérvese que esta afirmación es cierta para cualquier álgebra de Lie.

Cada submódulo tiene la propiedad de que el centro de $\mathfrak{g}$ , es decir, matrices escalares, actúan como números, por lo tanto, de forma semisimple. No es difícil ver que estos módulos son completamente reducibles. Por tanto, también lo son $\mathfrak{U}(\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n)$ .