Estoy buscando una prueba de este hecho, que se utiliza, por ejemplo, para demostrar que la reflexión de $S^n$ tiene deegre $-1$ .
Rotman lo demuestra a través de Mayer-Vietoris, pero en los apuntes de mis profesores se suele aprovechar este resultado antes de introducir esa herramienta.
Me parece que mis notas sugieren que este homeomorfismo proviene de la inclusión "ecuatorial" $i:S^{n-1}\hookrightarrow S^n$ pero no veo por qué.
El mismo resultado debería ser válido para cualquier suspensión.
Respuesta
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Considere $S^n$ para ser la suspensión $\Sigma S^{n - 1}$ para todos $n \geq 1$ . Sea $C^n_+$ y $C^n_-$ denotan el cono superior e inferior de $\Sigma S^{n - 1}$ respectivamente, y que $S^{n - 1} \subseteq \Sigma S^{n - 1}$ sea el ecuador. Sea $U$ ser una vecindad del polo norte que puede ser extirpada de $C^n_+$ .
Ahora miramos la secuencia larga exacta
$$ \begin{equation*} \cdots \rightarrow \tilde{H}_k(C^n_+) \rightarrow \tilde{H}_k(S^n) \rightarrow \tilde{H}_k(S^n, C^n_+) \rightarrow \tilde{H}_{k - 1}(C^n_+) \rightarrow \cdots \end{equation*} $$
Desde $C^n_+$ es contraíble, tenemos que $\tilde{H}_k(S^n) \cong \tilde{H}_k(S^n, C^n_+)$ para todos $k$ . Utilizando nuestro barrio $U$ desde arriba, por escisión, $\tilde{H}_k(S^n, C^n_+) \cong \tilde{H}_k(S^n \setminus U, C^n_+ \setminus U)$ que por retracción de la deformación (relativa) es isomorfa a $\tilde{H}_k(C^n_-, S^{n - 1})$ . Considerando de nuevo la larga secuencia exacta del par:
$$ \begin{equation*} \cdots \rightarrow \tilde{H}_k(S^{n - 1}) \rightarrow \tilde{H}_k(C^n_-) \rightarrow \tilde{H}_k(C^n_-, S^{n - 1}) \rightarrow \tilde{H}_{k - 1}(S^{n - 1}) \rightarrow \cdots \end{equation*} $$
obtenemos que $\tilde{H}_k(C^n_-, S^{n - 1}) \cong \tilde{H}_{k - 1}(S^{n - 1})$ para todos $k$ Por lo tanto $\tilde{H}_k(S^n) \cong \tilde{H}_{k - 1}(S^{n - 1})$ para todos $k$ y la afirmación es la siguiente.
