Demostrar que un polinomio es irreducible sobre un campo finito

Question

Pregunta: $\mathbb{F}_5=\{0,1,2,3,4,5\}$ sea el campo con $5$ elementos, dejemos que $\mathbb{F}_5[X]$ sea el anillo de polinomios sobre $\mathbb{F}_5$ . Sea $m(X) = X^2+X+1$ . Demostrar que $m(X)$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_5$ .

Prueba.

Supongamos que $m(X)$ es reducible entonces existe $r(X),q(X)$ donde $\deg r(X)=\deg q(X)= 1$

Así que por la fórmula cuadrática tenemos

$$m(X)= \left(X-\left(\frac{-1+3i}{2}\right)\right)\left(X-\left(\frac{-1-3i}{2}\right)\right)$$

Sin embargo, $$\frac{-1+3i}{2},\frac{-1-3i}{2}\notin \mathbb{F}_5.$$

Por lo tanto, $m(X)$ es irreducible.

¿Sería esto correcto?

Answer 1

Un polinomio cuadrático con coeficientes enteros es irreducible sobre un campo finito $\mathbb{F}_p$ si no tiene raíz en $\mathbb{F}_p$ es decir, si su discriminante no es un cuadrado en $\mathbb{F}_p$ . Dado que el discriminante de $x^2+x+1$ es $-3$ y $-3\equiv 2$ no es un cuadrado $\!\!\pmod{5}$ (el conjunto de cuadrados está formado por las clases de residuos $0,1,4$ solamente), se deduce que $x^2+x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_5$ .

Obsérvese que las raíces complejas de $x^2+x+1=\Phi_3(x)$ son $\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$ y no lo que has escrito.