Computar
$$\sum_{i,j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+j}}{i^2+j^2}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Calculemos $$\lim_{s\to 1}\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{(-1)^{m+n}}{(m^2+n^2)^s}$$ ya que eso es lo que quieres saber de todos modos. Se trata sobre todo de aritmética en $\mathbb{Z}[i]$ , como $m^2+n^2=(m+in)(m-in)=:N(m+in)$ . También $(-1)^{m+n}=(-1)^{m^2+n^2}$ Así que buscamos $$f(s)=\sum_{\alpha\in\mathbb{Z}[i]-\{0\}}\frac{(-1)^{N\alpha}}{(N\alpha)^s}.$$ Observe que $N\alpha$ es par si $(1+i)\vert\alpha$ . Utilizando la factorización única a los primos (y el hecho de que hay $4$ unidades) obtenemos
$$ \sum_{\alpha\in\mathbb{Z}[i]-\{0\}}\frac{(-1)^{N\alpha}}{(N\alpha)^s}=4(-1+2^{-s}+4^{-s}+\dots)\times\prod_\pi\frac{1}{1-(N\pi)^{-s}},$$ donde $\pi$ recorre todos los primos de $\mathbb{Z}[i]$ excepto en el caso de $1+i$ . Ahora, o bien $N\pi=p$ donde $p\equiv 1\text{ mod } 4$ es un primo, y ocurre para dos $\pi$ 's, o $N\pi=q^2$ donde $q\equiv 3\text{ mod } 4$ es un primo (es cuando $\pi=q$ ). Como $$\frac{1}{1-2^{-s}}\prod_p\frac{1}{(1-p^{-s})^2}\prod_q\frac{1}{1-q^{-2s}}$$ $$=\zeta(s)\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}\prod_q\frac{1}{1+q^{-s}}$$ $$=\zeta(s)(1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+9^{-s}-\dots),$$ tenemos $$f(s)=4(2^{1-s}-1)\zeta(s)(1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+9^{-s}-\dots).$$ Desde $\lim_{s\to1}(s-1)\zeta(s)=1$ , $\lim(2^{1-s}-1)/(s-1)=-\log2$ y $$\lim_{s\to1}1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+9^{-s}-\dots=\pi/4$$ obtenemos $$\lim_{s\to 1}f(s)=-\pi\log2.$$ (Me sorprende haber acertado la respuesta:)
