¿Por qué la raíz cuadrada de una función inversa es negativa?

Question

Por ejemplo,

$$f(x)=x^2$$

$$y=x^2$$

$$-\sqrt{x} = f^{-1}$$

¿Por qué $\sqrt{x}$ ¿se vuelve negativo?

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Edit: Perdón por la confusión, voy a exponer el problema en mi libro de texto y la solución.

"Encuentra F^{-1} y verifica que (f - f^{-1})(x) = (f^{-1} - f)(x) = x"

$$f(x) = x^{2}, x0$$

Solución:

$$ x=-\sqrt{y}$$

Intercambiar x e y.

$$ y=-\sqrt{x}$$ $$f^{-1} (x) = - \sqrt{x}$$

Verifica.

Para x0

$$(f^{-1} · f)(x) = f(-\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^{2} = x$$

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Y todo lo que quiero saber es por qué $$y=x^{2}$$ convertirse en $$f^{-1}(x)=-\sqrt.{x}$$

Answer 1

Parece que hay mucha confusión aquí. Recordemos esta importante definición: una función asigna una entrada cualquiera a sólo una salida . Esto significa que nunca se puede tener $f(x) = 3$ y $f(x) = 5$ porque eso significaría que $3=5$ Lo cual es claramente erróneo. Como regla tenemos que si $f(x) = a$ y $f(x) = b$ entonces $a = b$ .

Así que tomemos $f(x) = x^2$ . Ya sabes qué aspecto tiene: es una parábola. Por ejemplo, tenemos esa $f(3) = 9$ y $f(-3) = 9$ . Esto significa que $f(x)$ es no es invertible . ¿Por qué? Si tratas de invertir esta función, entonces $f^{-1}(9) = 3$ y $f^{-1}(9) = -3$ . Pero $3 \neq -3$ . Así que $f^{-1}$ viola la regla que establecimos anteriormente.

Answer 2

La función $f(x)=x^2$ no tiene realmente una función inversa.

Veamos por qué:

Si seguimos el procedimiento estándar para calcular la función inversa, obtenemos que la función inversa debe ser $f^{-1}=\pm\sqrt{x}$ .

Ahora, tenemos un problema. Ya en el precálculo, nos enseñaron que una función sólo debe tener una salida por entrada. Pero, $\pm\sqrt{x}$ da dos ¡Salidas!

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Editar

Una respuesta a su problema editado. $y=x^2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{y}$ . A la izquierda y a la derecha sacamos la raíz cuadrada. No olvides el $\pm$ ¡¡!!