¿Cómo puede el autor evaluar lo siguiente?
$$\oint_{C'}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$$
¿No contradice esto el Teorema 9.12.1? P(0, 0) es indefinido en la región $R_2$ (correspondiente a $C'$ ).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El autor tiene razón en que es capaz de hacerlo, pero no se justifica muy bien. En realidad es cierto que si dos trayectorias son homotópicas (ver wikipedia) a través de una región donde el campo vectorial es libre de rizo, entonces las integrales sobre ambas trayectorias serán iguales.
Haré algunos dibujos para demostrar que esto es cierto sólo usando la versión del teorema de los verdes que conoces. (lo siento, la imagen es un poco pequeña)
El teorema de Green se aplica a cada una de las regiones $R_1,R_2,R_3,R_4$ . Desde $Pdx+Qdy$ es libre de rizo en cada región, sabemos que la integral
$$\int_{bR_i} Pdx + Qdy = 0$$ se mantiene para la frontera orientada de cada $R_i$ . Así que
$$\int_{bR_1} Pdx + Qdy + \int_{bR_2} Pdx + Qdy + \int_{bR_3} Pdx + Qdy + \int_{bR_4} Pdx + Qdy = 0$$ .
Ahora, ¡fíjate en que se produce alguna cancelación en la región de las integraciones! Por ejemplo, $R_1$ y $R_2$ ambos comparten el segmento de línea vertical superior, pero con orientaciones diferentes. De hecho, mirando la segunda imagen, puedes ver que los 4 segmentos de línea están presentes dos veces en la suma de integrales anterior, cada vez con orientaciones opuestas. Así que esas integrales se anulan. Los trozos restantes son sólo los que pertenecen a $C$ y $C'$ pero con la orientación contraria.
$$\int_C Pdx +Qdy - \int_{C'} Pdx +Qdy = 0$$
$$\int_C Pdx +Qdy = \int_{C'} Pdx +Qdy$$
que es lo que decía su libro de texto.
Esta es una idea poderosa. Si tienes alguna región de integración, a menudo puedes cortarla así, y como los límites están orientados, tienes la cancelación en el interior. En cierto sentido esta es la verdadera razón del teorema de Green para empezar (Es cierto para los rectángulos usando el teorema fundamental dos veces, entonces descomponga una región en rectángulos y haga este tipo de cosas para ver el resultado general)
