Basta con tomar como ejemplo el grupo SU(2). Los tres generadores son $J_z$ , $J_+$ y $J_-$ .
Para un elemento $ g $ A veces queremos expresarlo como
$$ g = e^{i a J_+} e^{i b J_z} e^{i c J_-} . $$
El problema es que, para un determinado $g$ son los parámetros $a, b,c $ ¿determinado de forma única?
¿Qué le parece un grupo general de Lie?
Los exponenciales en su factorización están determinados de forma única si existen, pero no los exponentes en sí.
Para las factorizaciones relacionadas en grupos de Lie generales, véase http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group_decompositions .
Dejemos que $\mathfrak{G}$ sea un grupo de Lie de dimensión finita $N$ con el álgebra de Lie $\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(\mathfrak{G})$ .
Supongamos además que los vectores $\{\hat{X}_j\}_{j=1}^N\subset \mathfrak{g}$ span el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ ( es decir son un $\mathfrak{g}$ -base).
Entonces hay algún barrio $\mathcal{N}\subset\mathfrak{G}$ de la identidad en $\mathfrak{G}$ tal que para cada miembro $\gamma\in\mathcal{N}$ podemos encontrar (en general no único) $\tau_j\in\mathbb{R}$ es decir
$$\gamma=\prod\limits_{j=1}^N e^{\tau_j\,\hat{X}_j}\tag{1}$$
Esta es la situación de su pregunta, en la que $i\,J_z,\,i\,J_\pm$ span $\mathfrak{su}(2)$ .
De hecho hay un barrio abierto $\mathcal{U}\subset\mathbb{R}^N$ de $\mathbf{0}\in\mathbb{R}^N$ en $\mathbb{R}^N$ tal que la función
$$\sigma:\mathcal{U}\to\mathcal{N}; \sigma((\tau_j)_{j=1}^N) = \prod\limits_{j=1}^N e^{\tau_j\,\hat{X}_j}\tag{2}$$
es biyectiva. El $\tau_j$ se llaman entonces coordenadas canónicas del segundo tipo para el barrio $\mathcal{N}$ : son las coordenadas únicas en la vecindad $\mathcal{U}$ .
Ahora bien, esto sí no descartar puntos $(\tau^\prime_j)_{j=1}^N$ en el exterior el barrio $\mathcal{U}$ tal que:
$$\gamma=\prod\limits_{j=1}^N e^{\tau_j\,\hat{X}_j}=\prod\limits_{j=1}^N e^{\tau^\prime_j\,\hat{X}_j}\tag{3}$$
y esto explica Ejemplo de Qmechanic que cualquier $b\in 4\pi\mathbb{Z}$ y $a=0=c$ te dará un producto igual a la identidad.
De (2) se deduce que cada miembro del componente conectado de identidad de $\mathfrak{G}$ puede representarse como un producto finito de la forma
$$\prod\limits_{k=1}^M\,\left(\prod\limits_{j=1}^N e^{\tau_{j\,k}\,\hat{X}_j}\right)\tag{4}$$
es decir un $M$ -producto doble del producto canónico de coordenadas. En un grupo compacto, existe un límite superior estricto, que depende del $\mathfrak{g}$ -base elegida, para $M$ el número de multiplicandos necesarios. En un grupo no compacto no existe tal límite. Por lo tanto, hay muchos miembros del grupo (fuera de $\mathcal{N}$ ) en el componente de identidad de $\mathfrak{G}$ que no pueden recibir coordenadas canónicas y, de hecho, requieren un producto mayor de la forma (4). Si el miembro del grupo en cuestión se encuentra en el exterior el componente conectado de identidad, entonces ningún producto de la forma en (4) lo realizará. $SU(2)$ sin embargo, está conectada (de hecho, simplemente conectada) por lo que no tiene este problema. Además, en el caso especial de $SU(2)$ para el caso especial de la base $\{J_z,\,J_+,\,J_-\}$ que ha elegido, la función definida por (2), con tres miembros del producto solo, es suryente sobre $SU(2)$ . Sin embargo, no es inyectiva, como ya hemos señalado con Ejemplo de Qmechanic .
En uno de los comentarios se decía que el fracaso de los productos (3) y (4) para realizar los miembros del grupo se debía a la falta de subjetividad del mapa exponencial. Esto no es correcto. En el caso general de los grupos de Lie, hay muchos miembros del grupo (fuera de $\mathcal{N}$ ) en el componente de identidad de $\mathfrak{G}$ para la que no hay solución a (1), como hemos señalado. Esto es bastante independiente de que la exponencial sea suryente. En un grupo no compacto, todos los miembros de la componente conexa identidad siempre pueden ser representados por un producto de la forma (4), su simplemente que puede haber ciertos elementos, digamos $\zeta$ en el componente de identidad que no son los exponenciales de cualquier solitario Miembro del álgebra de la mentira, es decir $\zeta\not\in\exp(\mathfrak{g})$ y no hay $X\in\mathfrak{g}$ tal que $e^X=\zeta$ .
El mapa exponencial es suryente en $SU(2)$ En efecto, en $SU(N)$ . Esto es fácil de ver porque todas las matrices unitarias son normales, por lo tanto $\gamma\in SU(N)$ unitariamente diagonalizable como $\gamma=T\,\exp(i\,\mathrm{diag}(\phi_1,\,\phi_2,\,\cdots))\,T^\dagger$ , donde $\phi_j\in\mathbb{R}$ y así $X=i\,T\,\mathrm{diag}(\phi_1,\,\phi_2,\,\cdots)\,T^\dagger\in\mathfrak{su}(N)$ es tal que $\gamma=e^X$ .
El mapa exponencial es suryente para todos los grupos de Lie compactos y conectados . Sin embargo, como muestra nuestro ejemplo, no es inyectiva en todo el grupo, sólo en una vecindad restringida de la identidad.
El mapa exponencial no es suryente en algunos grupos conexos no compactos: es suryente para $SE(2)$ el grupo euclidiano 2D adecuado (probablemente para $SE(N)$ pero no lo he calculado) pero no es surjetivo en $SL(2,\,\mathbb{R})$ y $SL(2,\,\mathbb{C})$ . el ejemplo:
$$\left(\begin{array}{cc}-1&\alpha\\0&-1\end{array}\right)\in SL(2,\,\mathbb{R})\subset SL(2,\,\mathbb{C})\tag{5}$$
donde $\alpha\in\mathbb{R}$ es el ejemplo estándar de un elemento de un grupo de Lie que no es el exponente de ningún elemento de $\mathfrak{sl}(2,\,\mathbb{R})$ .
Naturalmente, $\exp$ no es suryente en ningún grupo de Lie no conectado (con más de una componente conectada).
Sigue siendo una cuestión abierta de la teoría de Lie cuáles son las condiciones exactas para la subjetividad de la exponencial.
De hecho, es frecuente que los cálculos se simplifiquen cuando el rango de parámetros es tal que algunos elementos no están representados de forma única. Una condición necesaria para que la parametrización sea única es que la integración sobre el rango de parámetros produzca el volumen del grupo (el volumen no siempre se conoce con precisión).
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