Dejemos que $H$ sea un género $g$ cuerpo de la manija incrustado en $S^4$ y que $X = S^4 - N(\partial H)$ donde $N(\partial H)$ es una vecindad tubular abierta de la frontera de $H$ . ¿Qué es? $X$ ? En el caso de que $g=0$ por ejemplo, $X = S^1 \times D^3$ .
Respuesta
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Para obtener una descripción de la manija para $S^4-\nu\Sigma$ , empuje $\Sigma$ en uno de los $D^4$ y ver $D^4$ como $I\times D^3$ . Perturbar $\Sigma$ para que la proyección $I\times D^3\to I$ dado por $(t,x)\mapsto t$ es una función morse con valores críticos aislados cuando se restringe a $\Sigma$ . Los valores críticos de $t|\Sigma$ corresponden a asas bidimensionales en la descomposición de asas para $\Sigma$ . Para obtener una descripción de asa para el complemento de la superficie, tenemos que añadir un 4d $(k+1)-$ mango para cada 2d $k-$ mango de $\Sigma$ . La única parte complicada es la 4d $2-$ asas. Dibujar $\Sigma$ con una descomposición de asas para que todos $1-$ Las asas están unidas a $0-$ asas. El $0-$ asas de $\Sigma$ se convierten en círculos punteados (4d $1-$ asas) y cada $1-$ mango de $\Sigma$ (una banda) se sustituye por una $0-$ círculo enmarcado de manera que a cada lado de la banda, se empuja el núcleo de la banda y se conectan estos alrededor del círculo punteado.
Así pues, el ejemplo anterior es una descripción del cuerpo del asa para el complemento de un toro no anudado. Todo esto viene de Gompf & Stipsicz, proposición 6.2.1, junto con la discusión vecina.
