¿Cómo calcular el cokernel?

Question

Considero que una superficie de Hirzebruch $\mathbb{F}_2$ con un único $(-2)$ -curva denotada por $Q$ y denoté el fallo por $P$ que es $0$ -curva. Ahora considero el divisor de la forma $D=Q+P$ y considerar el haz de líneas $L=O(Q+P)$ . Entonces considero la siguiente secuencia exacta: $$ 0\rightarrow O(-Q-P)\xrightarrow{j} O^{\oplus 2}\rightarrow coker(j)\rightarrow 0 $$

Me gustaría saber qué hace esto $coker(j)$ parecer. Creo que debería ser una gavilla con una subgavilla de torsión apoyada en $Q$ y el correspondiente haz cotizante debería ser un haz localmente libre, en particular, debería ser un haz de líneas, pero no sé qué aspecto tiene

Podría ser muy trivial Gracias

Answer 1

El mapa $j$ factores a través de $O(-Q-P)\to O(-P)\to O^2$ . El cokernel de $O(-P)\to O^2$ es sólo $O(P)$ . El cokernel de $O(-Q-P)\to O(-P)$ es $O_Q(-1)$ . Entonces, tienes una secuencia exacta, $0\to O_Q(-1)\to C\to O(P)\to 0$ , donde $C$ es el cokernel de $j$ .