El límite de la integral

Question

Dejemos que $1 \le p < \infty$ y asumir $f \in L^p(\mathbb{R})$ . Estoy tratando de probar el límite de la integral $$\lim_{x \to \infty} \int^{x+1}_x f(t)dt =0.$$

¿Puedo utilizar el Teorema de Riesz para los espacios de Banach?

Answer 1

No es una solución completa, sólo proporciono algunas pistas:

• Utilizando la desigualdad de Hölder (o Jensen), obtenemos $$\left|\int_{[x,x+1]}f(t)dt\right|^p\leq \int_{[x,x+1]}|f(x)|^pdx,$$ de ahí que sólo tengamos que ocuparnos del caso $f\in L^1$ .
• Escriba $\int_{[x,x+1]}f(t)dt=\int_{(-\infty,x+1]}f(t)dt-\int_{(-\infty,x)}f(t)dt$ . ¿Cuál es el límite, cuando $x\to +\infty$ ¿ de cada término?

Answer 2

Yo diría que $f(t) \chi_{[x,x+1]}(t)$ es una secuencia de funciones que convergen puntualmente a $0$ para $x\rightarrow\infty$ . A continuación, utilice el teorema de la convergencia dominada con límite superior $f$ (suponer $f$ es una función de valor real no negativa primero, luego se extiende a todas las funciones).

Answer 3

Obsérvese que sólo necesitamos demostrar esto para valores reales $f\geq 0$ ya que $$\left|\int_x^{x+1}f(x)dx\right|\leq \int_x^{x+1}|f(x)|dx.$$ Dejemos que $\epsilon>0$ y elegir alguna función sencilla $s\leq f$ tal que $\int fd\mu<\int sd\mu+\epsilon/2$ . Desde $s$ es simple e integrable, tenemos que $$s(x)=\sum\limits_{n=0}^k \alpha_n\chi_{A_n}(x)$$ para alguna colección $\{A_n\}$ de conjuntos medibles, y cada $A_n$ tiene medida finita excepto $A_0$ (para lo cual $\alpha_0=0$ ). Así, $A=\bigcup\limits_{n=1}^k A_n$ tiene medida finita, por lo que tenemos algún intervalo $I$ tal que $\mu(A\setminus I)<\epsilon/2\max\{|\alpha_1|,\ldots,|\alpha_n|\}$ . Por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande $x$ tenemos $(x,x+1)\cap I=\emptyset$ así que $$\int_x^{x+1} f(x)dx<\int_x^{x+1}s(x)dx+\epsilon/2< \max\{|\alpha_1|,\ldots,|\alpha_n|\}\cdot \epsilon/2\max\{|\alpha_1|,\ldots,|\alpha_n|\}+\epsilon/2=\epsilon$$ es decir, tenemos $\lim\limits_{x\to \infty} \left|\int_x^{x+1}f(x)dx\right|<\epsilon$ . Como esto es cierto para todos los $\epsilon>0$ el límite debe ser $0$ .