Cesta con Lirios y Rosas. Encuentra el número de rosas.

Question

Pregunta: Una cesta de flores cubierta tiene algunos lirios y rosas. En busca de una rosa, Sweety y Shweta cogen alternativamente una flor de la cesta, pero la devuelven si no es una rosa. Sweety tiene 3 veces más probabilidades de ser la primera en recoger una rosa. Si Sweety comienza esta "caza de rosas" y si hay 60 lirios en la cesta, encuentra el número de rosas en la cesta.

Dejemos que las rosas sean x y los lirios sean y. Como finalmente encuentran todas las rosas x $$ x!/(x+y)! + y/(x+y) * x!/(x+y)! \cdots = 1 $$ Así que para ser sincero, no tengo ninguna idea de cómo tratar esto.

Answer 1

Supongamos que la probabilidad de elegir una rosa es $r$ . Entonces - si $p$ denota la probabilidad de que Sweety (que empieza a recoger) sea la primera en recoger una rosa - encontramos: $$p=r+(1-r)^2p\tag1$$

Aquí $r$ es la probabilidad de que su primera elección tenga éxito y $(1-r)^2$ es la probabilidad de que ambos fracasen en su primera elección, de modo que el proceso vuelve a empezar con una probabilidad $p$ que Sweety será la primera con éxito.

Junto a eso también tenemos: $$p=3(1-p)$$ o de forma equivalente: $$p=\frac34$$ y esto permite resolver $(1)$ .

Una solución es: $r=\frac23$ diciéndonos que al lado de $60$ lirios hay $120$ rosas.

Otra solución es $r=0$ diciéndonos que no hay rosas en absoluto. Entonces Sweety y Shweta siguen recogiendo en este momento, ambos tienen probabilidad $0$ para tener éxito una vez. Observe que $0=3\cdot0$ por lo que efectivamente la probabilidad de que Sweety sea la primera es $3$ veces la probabilidad de que Shweta sea la primera.

En realidad, esta segunda solución podría excluirse en base a la información de que la cesta contiene lirios y rosas (así $r>0$ ).

Answer 2

Dejemos que $x$ sea el número de rosas en la cesta.

Se da que la primera persona en elegir es $3$ veces más probabilidades de obtener la primera rosa que la segunda persona, por lo que la primera persona obtiene la primera rosa con probabilidad $\frac{3}{4}$ .

Con probabilidad ${\large{\frac{x}{x+60}}}$ Sweety gana en el primer intento.

Con probabilidad ${\large{\frac{60}{x+60}}}$ Sweety no gana en el primer intento. En ese caso, Shweta es efectivamente la primera jugadora de una nueva partida. Por lo tanto, a partir de ese momento, Shweta tiene la probabilidad $\frac{3}{4}$ para ganar, y Sweety tiene la probabilidad $\frac{1}{4}$ para ganar.

Esto da lugar a la ecuación $$\frac{3}{4}=\frac{x}{x+60}+\left(\frac{60}{x+60}\right)\left(\frac{1}{4}\right)$$

Resolver para $x$ produce $x = 120$ .