Intercambio de sumas en la suma infinita de vectores

Question

Supongamos que $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ es una base ortonormal para un espacio de Hilbert $H$ y $T\in B(H)$ tiene representación matricial $[x_{ij}]$ con respecto a la base dada.

Si $\sum_{j=1}^\infty h_je_j\in H$ ¿es válido el siguiente intercambio de suma?

$$\sum_{j=1}^\infty\sum_{i=1}^\infty h_jx_{ij}e_i=\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty h_jx_{ij}e_i$$

Estaba intentando relacionarlo con Fubini, pero no consigo avanzar.

Answer 1

Sí, es válido, y ambas expresiones son iguales a $T^*h$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que para cada $j$ , $$\sum_{i=1}^{\infty}\langle Te_i,e_j\rangle e_i=\sum_{i=1}^{\infty}\langle e_i,T^*e_j\rangle e_i=T^*e_j$$ Por lo tanto,

$$\sum_{j=1}^{\infty}\langle h,e_j\rangle\sum_{i=1}^{\infty}\langle Te_i,e_j\rangle e_i=\sum_{j=1}^{\infty}\langle h,e_j\rangle T^*e_j=T^*\sum_{j=1}^{\infty}\langle h,e_j\rangle e_j=T^*h$$ y para la otra expresión, tenemos $$\sum_{i=1}^{\infty}(\sum_{j=1}^{\infty}\langle h,e_j\rangle\cdot\langle Te_i,e_j\rangle) e_i=\sum_{i=1}^{\infty}\langle Te_i,h\rangle e_i=T^*h$$