Si $G$ es un grupo unimodular segundo contable de tipo I, entonces la medida de Plancherel es la única medida $\mu$ tal que
$$\|f\|_2^2 = \int_{\widehat{G}} \|\pi(f)\|_{\mathrm{HS}}^2 \mathrm{d}\mu(\pi).$$
por cada $f \in \mathrm{L}^1(G) \cap \mathrm{L}^2(G)$ . Esto aparece como Teorema 18.8.2 en el libro de Dixmier sobre $C^*$ -algebras.
Cuando $G$ no es unimodular, la cuestión se complica, porque la medida de Plancherel tiene que ser torcida por una sección de un haz de líneas; véase el artículo de Duflo-Moore sobre el tema para los detalles sangrientos. Cuando $G$ no es segundo contable, no conozco un resultado publicado; los detalles técnicos de la teoría integral directa son más difíciles en este caso y no son estándar. Cuando $G$ no es de tipo I, la descomposición de la representación regular izquierda en irreducibles ya no es única, y algunos de los operadores del lado derecho de la fórmula no tendrán norma de Hilbert-Schmidt finita.
Edición: Se ha aclarado la pregunta para indicar que no se pide esta caracterización de la medida de Plancherel, sino una caracterización más cercana a la descripción en el caso abeliano de la medida de Plancherel como medida de Haar sobre $\widehat{G}$ . Dado que no suele haber una estructura algebraica en $\widehat{G}$ para el que considerar la invariabilidad, una generalización directa es imposible.
El análogo más cercano es la caracterización de la medida de Plancherel como una traza (o peso) coinvariante única en el álgebra de von Neumann $\mathcal{M}$ generada por la representación regular izquierda de $G$ . Supongamos que $G$ satisface las mismas hipótesis que las anteriores y $\Delta : \mathcal{M} \to \mathcal{M} \overline{\otimes} \mathcal{M}$ es la comulgación en $\mathcal{M}$ dado por $\lambda(s) \mapsto \lambda(s) \otimes \lambda(s)$ . Entonces la traza de Plancherel es la única traza normal semifinita $\tau$ en $\mathcal{M}$ tal que
$$\tau((\varphi \otimes \mathrm{id}) (\Delta(a))) = \tau(a)$$
para todos $a \in \mathcal{M}_\tau^+$ y $\varphi \in \mathcal{M}_*$ . Una caracterización similar es válida para el peso de Plancherel de un grupo arbitrario localmente compacto, o para el peso de Haar de un grupo cuántico localmente compacto. Para las pruebas, véase el volumen 2 de Takesaki o cualquiera de las publicaciones sobre grupos cuánticos algebraicos de von Neumann.
