¿Existe un anillo de división no conmutativo infinito con centro finito?

Question

¿Existe un anillo de división no conmutativo infinito con centro finito?

Answer 1

Sí.

La siguiente construcción se atribuye a Hilbert en "A first course in noncommutative rings" de T.Y. Lam., p. 217.

Dejemos que $k$ sea un campo con un automorfismo $\sigma$ . Escriba $D = k((x,\sigma))$ para el anillo no conmutativo de las series formales de Laurent $\sum_{i = n}^\infty a_ix^i$ con la regla de la multiplicación retorcida $xa = \sigma(a) x$ para $a\in k$ . Entonces $D$ es un anillo de división. Si $k_0$ es el campo fijo de $\sigma$ Entonces, o bien

$Z(D) = k_0$ o $Z(D) = k_0((x^s))$

dependiendo de si $\sigma$ tiene un orden infinito o un orden finito $s$ respectivamente.

Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es elegir $\sigma$ y $k$ tal que $k_0$ es un campo finito y $\sigma$ tiene un orden infinito. Esto puede hacerse eligiendo, por ejemplo, el automorfismo de Frobenius de $\overline{\mathbb{F}}_p$ .