En una secuencia con $n^{\frac{1}{\operatorname{rad}(n)}}$ sin límites, donde $\operatorname{rad}(n)$ es el producto de los primos que dividen $n$

Question

Uno sabe lo fácil que es

Es un hecho. $$\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1.$$

Mi prueba es definir $l=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}$ entonces tome logaritmos para mostrar que $\log l=\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n}=0$ y, por lo tanto, la exponenciación da como resultado Es un hecho.

Que el radical de un entero definido como se ve en el anterior Wikipedia por $\operatorname{rad}(1)=1$ y cuando $n>1$ entonces $$\operatorname{rad}(n)=\prod_{p\mid n}p,$$ es decir el producto de todos los primos distintos que dividen $n$ (los ejemplos son $\operatorname{rad}(29)=29$ y $\operatorname{rad}(28)=\operatorname{rad}(4\cdot 7)=2\cdot 7 $ ya que esta función aritmética es multiplicativo ).

Inspirado en diferentes cálculos y experimentos, he considerado lo siguiente

Pregunta. ¿Puede proporcionarnos una caracterización de una secuencia de enteros positivos con $$n^{\frac{1}{\operatorname{rad}(n)}}$$ sin límites ? Es: ¿es posible una secuencia (infinita) $n_k$ de números enteros positivos tales que $$n_k^{\frac{1}{\operatorname{rad}(n_k)}}$$ tiende al infinito?

Muchas gracias. Me interesó esta cuestión después de experimentar también con diferentes funciones aritméticas, digo funciones divisoras.

Answer 1

Un ejemplo es $n_k=2^k$ : $n_k^{\frac1{rad(n_k)}}=\sqrt2^k\to\infty$ como $k\to\infty$ .

En general, una condición necesaria es que el exponente máximo de un primo en la factorización de $n_k$ no tiene límites, porque si $n_k=p_1^{a_1}\cdots$ con $a_1$ máximo (digamos), $n_k^{\frac1{rad(n_k)}}\leq rad(n_k)^{\frac{a_1}{rad(n_k)}}\leq\sqrt2^{a_1}$ .

Sin embargo, esto no es suficiente, por ejemplo $n_k=2^k\cdot p_2\cdots p_{k+1}$ tiene $n_k^{\frac1{rad(n_k)}}$ limitado.