Convergencia de una secuencia si y sólo si limsup y liminf coinciden

Question

Esto es en términos de conjuntos (dentro del contexto de la teoría de la medida de la probabilidad) si eso importa. El libro dice "esto es equivalente" sin pruebas, ¡quiero demostrar la diferencia!

Función indicadora de un conjunto $A$ se define como: $\mathbb{I}_A(\omega)=1$ si $\omega\in A$ si no $=0$ definido sobre todo el $\Omega$ básicamente es una función que es 1 sobre $A$ y 0 en el resto.

Dejemos que $\{A_n\}$ sea una secuencia de subconjuntos de $\Omega$ dentro del $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{A}$ (esto sólo significa que es cerrado bajo unión e intersecciones contables)

$A_n\rightarrow A$ ( $A_n$ se dice que converge) si $\lim_{n\rightarrow\infty}(\mathbb{I}_{A_n})=\mathbb{I}_A$

Limsup y liminf se definen como sigue

$\limsup_{n\rightarrow\infty}(A_n)=\cap^\infty_{n=1}(\cup_{i=n}^\infty A_i)$
$\liminf_{n\rightarrow\infty}(A_n)=\cup^\infty_{n=1}(\cap_{i=n}^\infty A_i)$

La reclamación es $A_n\rightarrow A\iff A=\limsup(A_n)=\liminf(A_n)$

He etiquetado esto como "Análisis real" porque es donde aprendí sobre los límites, y considero que la definición de los mismos está bajo su paraguas.

¿Qué he probado?

Estoy luchando para empezar, no estoy seguro de si debo mirar el límite de la función indicadora puntualmente o como una función, y si es así cómo considerarlo en esas luces separadas, y luego usar la información de limsup y liminf para mostrar el resultado.

Así que tengo que definir con más cuidado el límite de la función indicadora (¿comienza: $\forall\omega\in\Omega\forall\epsilon>0$ o comienza $\forall\epsilon>0\forall\omega\in\Omega$ ) entonces obtén eso en términos de limsup y liminf.

Puedo ver atisbos de la prueba, pero evidentemente no puedo formularla por completo. Me gustaría que me lo aclararan.

Acabo de ver preguntas similares y las leeré, no obstante me gustaría saber cómo debo tratar la convergencia de una función, puntual o no.

Answer 1

Supongamos que su $A_i$ , $A$ son todos subconjuntos de un conjunto $X$ . Supongamos primero que para cada $x\in X$ tenemos que $1_{A_n}(x)\longrightarrow 1_A(x)$ . Desde $1_{A_n}$ toma el valor $0$ o $1$ Esto significa que para cada $x\in X$ hay $N(x)=N$ tal que $1_{A_n}(x)$ es constante para $n>N$ con valor $1$ o $0$ y es igual a $1_A(x)$ . Siempre se da el caso de que $A_*\subseteq A^*$ (Me da pereza denotar el límite inferior y el límite superior). Por lo tanto, basta con demostrar que $A^*\subseteq A_*$ es decir, basta con demostrar que si existe un subconjunto infinito $S\subseteq \Bbb N$ tal que $x\in \bigcap_S A_{n}$ Entonces $x\in A_*$ .

Ahora bien, como $S$ es infinito, podemos elegir $M\in S$ más grande que $N(x)$ . Esto significa que $1=1_{A_n}(x)=1_{A_N}(x)$ por cada $n>N$ (¡porque sabemos que la secuencia es constante!), por lo que $x\in \bigcap_{n\geqslant N}A_n$ Así que $x\in A_*$ . De hecho $A=A*=A_*$ .

Para la inversa, debería ser inmediato ver que si $A=A*=A_*$ entonces $\lim\limits_{n\to\infty} A_n= A$

Answer 2

Supongamos que $A_n \to A$ en el sentido de que $\mathbb{I}_{A_n}(\omega) \to \mathbb{I}_{A}(\omega) \quad \forall \omega \in \Omega$ .

La secuencia que sólo tiene ceros y unos como términos convergerá si y sólo si la secuencia se convierte finalmente en ceros (es decir, después de algún $n$ todos los términos serán ceros) o unos

Ahora, supongamos que $\omega \in A$ . Entonces $\mathbb{I}_{A}(\omega) = 1$ lo que significa que existe $n$ tal que $\omega \in A_k \quad \forall k > n$ lo que implica que $A \subset \liminf A_n$ .

Supongamos ahora que $\omega \in A^c$ . Entonces $\mathbb{I}_{A}(\omega) = 0$ lo que significa que existe $n$ tal que $\omega \in A_k^c \quad \forall k > n$ lo que implica que $A^c \subset \liminf A_n^c$ lo que significa $\limsup A_n \subset A$ .

Utilizando los dos resultados anteriores, tenemos $A = \limsup A_n = \liminf A_n$

La otra dirección del resultado sigue utilizando ideas similares.