Si $g:R^m \to R^n$ tiene derivación $\lambda$ en $a$ es el límite como $x\to 0$ de $\frac{|g(a + x) - g(a)|}{|x|}$ siempre $\|\lambda\|$ ?

Question

Puedo demostrar que el límite está acotado por encima de $\|\lambda\|$ si existe: $$\frac{|g(a +x) - g(a)|}{|x|} \leq \frac{|g(a+ x) - g(a) - \lambda x|}{|x|} + \|\lambda\|$$

Answer 1

Si te refieres a $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ la respuesta es sí. Ya que:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\left|\left|\frac{g(x + a) - g(a)}{x} - \lambda \right|\right| = 0$$

Ahora podemos utilizar el teorema del apretón. Primero un lema: Para cualquier vector $a$ y $b$ en $\mathbb{R}^n$ , $-\|a - b\| \leq \|a\| - \|b\| \leq \|a - b\|$ . Puedes demostrarlo utilizando la desigualdad del triángulo: $\|a - b + b\| \leq \|a - b\| + \|b\|$ Así que $\|a\| - \|b\| \leq \|a - b\|$ , esta es la desigualdad de la derecha. La desigualdad de la izquierda viene dada por la conmutación $a$ y $b$ : $\|b\| - \|a\| \leq \|b - a\|$ y multiplicar por $-1$ .

Así que:

$$-\left|\left|\frac{g(x + a) - g(a)}{x} - \lambda \right|\right| \leq \frac{\|g(x + a) - g(a)\|}{\|x\|} - \|\lambda\| \leq \left|\left|\frac{g(x + a) - g(a)}{x} - \lambda \right|\right|$$

El teorema de la compresión implica que el medio también va a cero.

¿Y si $g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ ? Un caso sencillo es $g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ , $g(u,v) = v$ . A continuación, ajuste $a = 0$ :

$$\frac{\|g(u,v) - g(0,0)\|}{\|(u,v)\|} = \frac{|v|}{\sqrt{u^2 + v^2}}$$

Y este límite no existe como $(u,v) \rightarrow (0,0)$ .

Answer 2

Ese límite apenas existe. Por ejemplo, tomemos $g:\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}$ definido por $g(x,y) = x.$ Entonces

$$|g((0,0)+(x,y)) - g((0,0))|/(x^2+y^2)^{1/2} = |x|/(x^2+y^2)^{1/2},$$

que no tiene un límite como $(x,y)\to (0,0).$

Mi opinión es que el límite existe si $\lambda $ es un múltiplo escalar de una isometría lineal.