Demostrar que las operaciones de un anillo cociente están bien definidas

Question

Estoy un poco confundido sobre un razonamiento específico para probar que el $\times$ está bien definido para un anillo cociente. He buscado una demostración y omite, sin mencionarla, la parte que me confunde.

Queremos demostrar que para un ideal de dos caras $I$ de un anillo $R$ para cualquier $r, s \in R$

$$(r + I) \times (s + I) = (rs + I)$$

es una operación bien definida. Como se trata de una equivalencia de conjuntos, primero empiezo mostrando que cualquier $x$ en el lado izquierdo debe ser un miembro en el lado derecho. Esto es sencillo, ya que para algunos $i_1, i_2 \in I$ ,

$$x = (r + i_1) \times (s + i_2) = rs + i_1s + ri_2 + i_1i_2$$

$i_1s, ri_2, i_1i_2 \in I$ de nuestra suposición de un ideal, como es su suma. Así que $x \in (rs + I)$ y $(r + I) \times (s + I) \subseteq (rs + I)$ .

¿Cómo demostramos lo contrario? Es decir, $(rs + I) \subseteq (r + I) \times (s + I)$ . Querríamos $x \in (rs + I) \implies x \in (r + I) \times (s + I)$ . Estoy asumiendo que el anillo no tiene necesariamente un elemento de unidad sobre $\times$ . Tendríamos que mostrar algo así como para $i_0 \in I$ , $rs + i_0 = rs + i_1s + ri_2 + i_1i_2$ encontrando alguna combinación de $i_1, i_2$ para que coincida con cualquier $r, s, i_0$ .

Siento que me estoy perdiendo algo ya que la prueba en el texto que tengo ignora completamente esta dirección.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

La expresión $(r+I)\times (s+I) = rs + I$ no es una igualdad de conjuntos, es una regla de mapeo para las clases de equivalencia correspondientes. Que no es una igualdad de conjuntos se puede comprobar tomando $R=\mathbb Z$ , $I=(5)$ , $r=2$ y $s=3$ . Entonces $rs+I=6+(5)$ que como conjunto contiene $1$ Así que si escribiéramos $1=(2+k_1\cdot5)(3+k_2\cdot5)$ , donde $k_1$ y $k_2$ son algunos números enteros, y expandir, esto eventualmente lleva a $1=6+5(3k_1+2k_2+5k_1k_2)$ , o lo que es lo mismo $$3k_1+2k_2+5k_1k_2=-1 \iff k_1=-\frac{1+2k_2}{3+5k_2}$$ Sin embargo, el lado derecho nunca es un número entero cuando $k_2$ es un número entero.

La notación $r+I$ denota el coset representado por $r$ . Por un momento, cambiemos la notación para que $[r]$ denota el coset representado por $r$ . Entonces $R$ se descompone en una unión disjunta de cosets $\cup_j[r_j]$ donde $j$ se extiende sobre algún conjunto de índices.

Ahora podemos definir una función $\operatorname{prod}\colon R/I \times R/I\to R/I$ por $\operatorname{prod}([r_i],[r_j])=[r_i r_j]$ . Ahora hay que comprobar que esta función está bien definida, es decir, no importa qué representantes elijamos para los cosets $[r_i]$ y $[r_j]$ obtenemos el coset $[r_i r_j]$ de vuelta después de aplicar $\operatorname{prod}$ .

Volviendo al ejemplo $R=\mathbb Z$ , $I=(5)$ , $r=2$ y $s=3$ tenemos $\operatorname{prod}([2],[3])=[6]$ por definición. Pero ahora también tenemos $[-2]=[2]$ Así que $$[6]=\operatorname{prod}([2],[3])=\operatorname{prod}([-2],[3])=[-6],$$ por definición. Pero esto no es contradictorio porque $-6$ y $6$ representan el mismo coset, es decir $[-6]=[6]$ .