Solución intento de suma directa en Axler 20 1.C

Question

Estaba haciendo ejercicios de la segunda edición de Álgebra Lineal de Axler, y entonces me encontré con el ejercicio 20, 1.C de la tercera edición.

Así que quería preguntar si mi intento es correcto.

Supongamos:

$U=\{(x,x,y,y)\in\mathbb{F^4} : x,y \in \mathbb{F} \}$

Encontrar un subespacio $W$ de $\mathbb{F^4}$ tal que $\mathbb{F^4}=U\oplus W$ .

Así que cuando $U_1$ y $U_2$ son supuestos subespacios de $V$ estas condiciones deben cumplirse para $V=U_1\oplus U_2$ :

(1) $V=U_1+U_2$

(2) $U_1\cap U_2=\{0\}$

Mi intento de solución es:

Considere $W=\{(0,y,z,w): y,z,w \in\mathbb{F} \}$ con $(x,y,z,w)\in\mathbb{F^4}$

Para la condición $V=U_1+U_2$ (en este caso $V$ es $\mathbb{F^4}$ y $U_2$ es $W$ ?) para sostener entonces:

$(x,y,z,w)=(x,x,y,y)+(0,y-x,z-y,w-y)$

y $U\cap W=\{0\}$ :

$0=(u_1-v_1)+...+(u_m-v_m)$

entonces: $y=x=0$ , $z=y=0$ y $w=y=0$

Por lo tanto, $\mathbb{F^4}=U\oplus W$

Answer 1

Una pista:

Prueba con $\;W=\left\{\;(x,0,y,0)\;|\;x,y\in\Bbb R\;\right\}\;$ Observe que $\;\dim W=2\;$ .