Sobre la intuición detrás del teorema de la proyección.

Question

Recientemente he demostrado el teorema de la proyección en un entorno de espacio de Hilbert. Los enunciados eran:

Si $M$ es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert $H$ y $x \in H$ Entonces:

1. Hay un elemento único $\hat{x}$ s.t.

$$\|x-\hat{x}\| = \inf_{y \in M}\|x-y\|$$

2. Tenemos $$\|x-\hat{x}\| = \inf_{y \in M}\|x-y\|$$ si y sólo si $(x-\hat{x}) \in M^\perp$ .

Ahora estoy teniendo algunos problemas con la intuición detrás de este teorema, el punto (1) es intuitivo para mí pero el punto (2) parece un poco extraño aunque lo haya demostrado, podría alguien ayudarme con alguna intuición o proporcionar una referencia que explique la intuición.

Answer 1

Piensa en esto. Suponga que tiene un punto $P$ y un plano en el espacio y que el punto no se encuentra en el plano. Hay un único punto $P_0$ del plano más cercano al punto. El segmento de línea que une $P$ a $P_0$ es perpendicular al plano. ¿Ves por qué?

Es la misma razón por la que una taza de café caída cae directamente sobre la Tierra.

Answer 2

Imagina $M$ es el ordinario $x$ -eje que aprendiste en la escuela secundaria. ¿Qué punto en $M$ está más cerca de $(x,y)$ ? El punto más cercano es $(x,0)$ . Y el vector $(x,0)$ (piense en ello como una flecha de $(0,0)$ a $(x,0)$ ) es perpendicular al vector $(x,y)-(x,0)=(0,y)$ .

Answer 3

$\hskip2in$

Dejaré que completes las piezas.

Fuente