Polinomio irreductible en $\mathbb Q[x]$ de grado $n$ teniendo exactamente $n-2$ raíces reales.

Question

Necesito demostrar que para cualquier $n$ existe un polinomio irreducible en $\mathbb Q[x]$ de grado $n$ teniendo exactamente $n-2$ raíces reales.

Sé que de una ejercicio anterior que si $f(x) \in \mathbb{R}[x]$ es cualquier polinomio que tenga exactamente $k$ raíces reales distintas, existe $\epsilon > 0$ para lo cual $f(x) +a$ tiene exactamente $k$ raíces reales, para todos $a\in \mathbb{R}$ con $|a|<\epsilon$ .

Entonces, comenzando con cualquier polinomio $f(x) \in \mathbb Q[x]$ con exactamente $n-2$ raíces reales distintas, y utilizando el párrafo anterior $f(x)+a$ tiene la misma propiedad para un número infinito de $a\in \mathbb Q$ . Ahora, como puede utilizar el criterio de irreducibilidad de Eisenstein para $f(x) \in \mathbb Z[x]$ y $a \in \mathbb Q$ para probar mi declaración inicial?

Gracias

Answer 1

Yo empezaría con algún polinomio $f\in\mathbb Z[X]$ , digamos que $$f(X)=(X^2+m)(X-k_1)\cdots(X-k_{n-2})$$ con $m,k_1,\dots,k_{n-2}$ positivo incluso enteros, y $k_1<\cdots<k_{n-2}$ . Ahora usa su puesto anterior que dice que $f(X)+\dfrac a b$ también tiene exactamente $n-2$ verdaderas raíces para todos $a,b\in\mathbb Z$ , $b\ne0$ con $\bigg\vert\dfrac ab\bigg\vert<\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$ . Entonces $bf(X)+a$ tiene la misma propiedad. Si $$f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$$ entonces $$bf(X)+a=bX^n+(ba_{n-1})X^{n-1}+\cdots+(ba_1)X+(ba_0+a).$$ Ahora eligió $b$ impar, $a=2$ y utilizar el criterio de Eisenstein para $p=2$ .