Prueba $\mathrm{Rank}A^TA\neq \mathrm{Rank}AA^T$

Question

Estoy reflexionando sobre la cuestión:

Si $\mathrm{rank}\mathbf{AA^T}\stackrel{?}{=}\mathrm{rank}\mathbf{A^TA}\stackrel{?}{=}\mathrm{rank}\mathbf{A}$ para cualquier matriz $\mathbf{A}\in M_{m\times n}$

He mirado estas dos respuestas: Clasificación de la matriz de gramos y Demostrar el rango $(A^TA)$ =rango $(A)$ para cualquier $A\in M_{m\times n}$ .

En la segunda prueba de Clasificación de la matriz de gramos y esta prueba si sustituimos $A$ con el $A^T$ obtenemos $$\mathrm{rank}\mathbf{A^T}=\mathrm{rank}AA^T$$ Pero $\mathrm{rank }A^T=\mathrm{rank}A$ . Entonces, tenemos lo siguiente: $$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^T=\mathrm{rank}AA^T=\mathrm{rank}A^TA\enspace\enspace\cdots (1)$$

Como las pruebas se hicieron en el anterior son independientes de las entradas de la matriz. Por lo tanto, consideremos $$B^T=\begin{bmatrix}1& i\end{bmatrix}$$ donde $i^2=-1$ .
Para la matriz $B$ el resultado en $(1)$ no se sostiene.

No soy capaz de entender si hay algún problema con esas pruebas o ¿Me estoy perdiendo algo? Gracias de antemano.

Answer 1

Pues bien, en mi opinión, la herramienta más útil para analizar este tipo de cuestiones, en el caso de las matrices no cuadradas, es la descomposición SVD.

Descompongamos nuestra matriz: $A=U\Sigma V^\star$ entonces el rango de $A$ es igual a la cantidad de entradas no nulas en $\Sigma$ . Sin embargo, cada entrada no nula es el cuadrado de un valor propio de $A A^\star$ . De este modo, se obtiene una correspondencia perfecta entre los valores singulares no nulos de $A$ a los valores propios no nulos de $AA^\star$ y $A^\star A$ (Que en realidad son los mismos). Por lo tanto, los rangos son efectivamente iguales.