¿Por qué la fuerza sobre las cargas en movimiento en el campo magnético es perpendicular?

Question

(1)El campo magnético alrededor de un conductor en el que hay una corriente puede demostrarse fácilmente utilizando algo como una aguja de brújula. Las líneas del campo magnético serán perpendiculares a la dirección de la corriente.

Ahora, las cargas no se verán afectadas por una fuerza electromagnética a menos que estén en movimiento. Sin embargo, en mi libro de texto dicen que cuando la velocidad es perpendicular a algún campo magnético en el que se encuentran, una fuerza será perpendicular a las cargas - dirección dada por la regla de la mano derecha.

Obviamente, eso también puede demostrarse muy fácilmente mediante experimentos. Pero, ¿hay alguna manera de demostrarlo teóricamente con líneas de campo magnético, es decir, por qué la fuerza se dirigirá hacia arriba en algunos casos, por ejemplo?

Answer 1

La fuerza sobre un conductor de corriente está dada por la ecuación para encontrar la magnitud como se da a continuación y su dirección dada por la regla de la mano izquierda de Flemings: $$F=BIlsin(\theta)$$ Esta fórmula puede ser derivado de la fuerza sobre una carga en movimiento $F=Bvqsin(\theta)$ o viceversa, donde $v$ es la velocidad de la carga. Verás, la corriente en un cable actúa como una carga en movimiento y las cargas en movimiento generan un campo magnético circular a su alrededor (los detalles sobre su magnitud se pueden encontrar utilizando la ley de Biot-Savart) por lo que la fuerza resultante debido al campo de la carga o corriente en movimiento se vuelve perpendicular a la dirección del movimiento/flujo de la corriente. A continuación se muestra una imagen de los campos.

Answer 2

Dado que existe una fuerza eléctrica ${\bf F}_e=q{\bf E}$ la existencia de una fuerza magnética de la forma ${\bf F}_m=q{\bf v}\times{\bf B}$ puede deducirse exigiendo la invariancia de Lorentz.

Ambas expresiones proceden de una única expresión relativista covariante para la cuádruple fuerza, $f_\mu=q\dot x^\nu F_{\mu\nu}$ , donde $\dot x^\mu\equiv dx^\mu/d\tau$ es la cuádruple velocidad y $F_{\mu\nu}$ es la intensidad del campo electromagnético, cuyos componentes se pueden encontrar en los libros de texto básicos de electrodinámica. En particular, las componentes espaciales ( $\mu=1,2,3$ ) dan lugar a la fuerza combinada eléctrica+magnética, $F_i=q(E_i+\epsilon_{ijk}v_jB_k)$ o, en notación vectorial, ${\bf F}=q({\bf E}+{\bf v}\times{\bf B})$ .

En resumen, en la notación relativista queda claro que los efectos eléctricos y magnéticos no están desvinculados, sino que provienen de una única interacción electromagnética. La división en fuerzas eléctricas y magnéticas no es covariante de Lorentz, es decir, depende del marco de referencia particular.