Secuencia de funciones continuas que convergen a un límite continuo

Question

Alguna ayuda con esto: construir una secuencia de funciones continuas definidas en $ [0,1] $ que converge puntualmente pero no uniformemente a un límite continuo?

Gracias.

Answer 1

Una pista: Considere $f_n: [0,1] \to \Bbb R$ definido por

$$f_n(x) := \begin{cases} 2n^2x & \text{if $0 \le x \le \frac1{2n}$}\\ 2n-2n^2x & \text{if $\frac1{2n} \le x \le \frac 1n$}\\ 0 & \text{if $x \ge \frac1n$} \end{cases}$$

¿Cuál es el límite puntual del $f_n$ ?

Answer 2

Considere $f_n: [0,1] \to \Bbb R$ definido por

$$f_n(x) := \begin{cases} nx & \text{if $0 \le x \le \frac1{n}$}\\ 2-nx & \text{if $\frac1{n} \le x \le \frac 2n$}\\ 0 & \text{if $ x \ge \frac2n $} \end{cases}$$

No es difícil comprobar que la lmit de punto de $f_n(x)$ es 0. De hecho, es evidente que . Ahora, para cualquier $x \in (0,1]$ tendremos un N lo suficientemente grande como para que $f_n(x) = 0$ si $n \geq N$ . Sin embargo, $f_n(x)$ no converge uniformemente a 0 debido a que $\sup|f_n(x) - f(x)| = 1$ para $x\in [0,1]$

Answer 3

Considere $f_n$ la interpolación lineal de $(0,0),(n^{-1},1),(2n^{-1},0),(1,0)$ .

Answer 4

Tome una secuencia de funciones nulas que tengan un salto triangular de longitud $1/n$ y la altura $n$ en $x=1/2n$ .

Answer 5

Sugerencia: para que converja puntualmente, pero no uniformemente, es necesario que la función sea cada vez más pronunciada en algún punto. Un intento natural sería $x^n$ que se vuelve más y más empinada cerca de $1$ como $n \to \infty$ . Por desgracia, la función resultante no es continua: es $0$ para $x \in [0,1)$ pero $1$ para $x=1$ ¿Puedes ver cómo arreglar esto?