Aquí está lo que yo sé:
Una forma del espacio se define como un colector de admisión de un colector de Riemann de la constante de la sección transversal de la curvatura de la
Un clásico resultado de Cartan establece que el colector es un espacio formulario si y sólo si es un cociente de $S^n$, $\mathbb{R}^n$, o $\mathbb{H}^n$ con su habitual métricas por un discreto grupo de isometrías $\Gamma$ actuando correctamente de forma discontinua; por otra parte $\Gamma$ es isomorfo al grupo fundamental de la forma del espacio. Esto reduce el espacio en forma de problema a un problema de teoría de grupos.
Un grupo discreto en el caso de $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{H}^n$ se conocen, respectivamente, como Kleiniano o cristalográfica.
La esfera y el real proyectiva del espacio son los únicos incluso-dimensional espacio esférico formas.
He visto a menudo papeles en la geometría diferencial, por ejemplo, la convergencia de los resultados de flujo de Ricci [cf. Hamilton 1982 y 1986, Böhm-Wilking, Brendle-Schoen], muestran que los colectores de admisión de las métricas de un determinado tipo (por ejemplo, de positiva la curvatura de Ricci, curvatura positiva operador, positiva isotrópica curvatura del espacio son formas", que han sido completamente clasificados" [cf. Libro de Wolf Espacios de curvatura constante], que parece implicar que esto le da una comprensión completa de dichos colectores.
Sin embargo, incluso después de haber visto una lista de grupos, no siento que me da una mucho mejor comprensión del espacio las formas de lo que he mencionado anteriormente. ¿Cómo puedo entender mejor? Algunos ejemplos de preguntas: (me alegra restringimos al caso tridimensional para la simplicidad.)
Son dos formas diffeomorphic si su fundamental grupos son isomorfos? Si esto no es cierto, lo que si necesitamos más de su homotopy grupos isomorfos?
Tal vez una clase natural de las 3-variedades a considerar son aquellos con localmente homogénea métricas (es decir, para cualquier $p,q\in M$ hay vecindarios $U_p\ni p$ $V_q\ni q$ y una isometría $U_p\to V_q$); por el resultado de la Cantante [CPAM 1960] la universalización de la cobertura de un colector con la tira de la espalda métrica es homogénea y por lo tanto es uno de los ocho geometrías. Si esta geometría es $S^2\times\mathbb{R}$, $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ o $\widetilde{\operatorname{SL}}(2,\mathbb{R})$ entonces es inmediato a partir de la segunda viñeta punto por encima de la $M$ no es un espacio de forma; sin embargo, creo (?) Nil y Sol tiene la topología de $\mathbb{R}^3$; por lo que es posible para un localmente homogénea colector de uno de estos tipos de ser un espacio formulario?
Más en general, dado cualquier cerrada 3-colector, ¿hay alguna aplicación general (pero no demasiado trivial) necesarias o suficientes condiciones para ver si se trata de un espacio de forma, tal vez en el nivel de homotopy, homología, o cohomology?
Dado cualquier compacto de 3 colector $M$, cuando podemos hacer de la $M\sharp N$ un espacio formulario para algunos la elección de compacto de 3 colector $N$?
Estos son sólo un puñado de cosas de las que estoy curioso acerca de. Mi pregunta principal es el título.
