Prueba alternativa para la función uno-uno

Question

Necesito una prueba alternativa para este problema.

Demuestra que la función es uno-uno, proporciona una prueba.

$f:x \rightarrow x^3 + x : x \in \mathbb{R}$

Necesitaba demostrar que la función es una función uno-uno. Intenté hacer $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ Terminó con $x(x^2 + 1) = y(y^2 + 1)$ . No he podido averiguar cómo resolver esto más adelante.

En cambio, tenía una buena idea de cómo era la gráfica, así que intenté demostrar que es una función estrictamente creciente.

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^3 - x_1^3) + (x_2 - x_1)$

Así, $f(x_2) - f(x_1) > 0$

Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente. Y por lo tanto es uno-uno.

Desgraciadamente esta solución no es aceptable :( ¿Podéis ayudarme a resolver cómo hacerlo de forma correcta? Gracias de nuevo por vuestra ayuda.

Answer 1

Tiene que demostrar que si $x \neq y$ entonces $x^3 + x \neq y^3 + y$ . Si $x < y$ entonces también $x^3 < y^3$ Por lo tanto $x+x^3 < y+y^3$ ; si $x > y$ entonces $x^3 > y^3$ Por lo tanto $x+x^3 > y+y^3$ . Por lo tanto, $x \neq y$ implica $x^3 + x \neq y^3 + y$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0$ para $x \in \mathbb{R}$ . Así que $f$ es monótona.

Intenta hacer esto: $$x^{3} + x =y^{3}+y \Longrightarrow (x^{3}-y^{3})= -(x-y)$$

A continuación, utilice $x^{3}-y^{3} = (x-y) \cdot (x^{2}+xy+y^{2})$ . Con esto tienes $$(x-y) \cdot \Bigl[ x^{2}+xy+y^{2} +1\Bigr] =0$$