Tasa de cambio serie taylor

Question

Me pregunto cómo se obtiene esto:

$$f(x+h)-f(x)=R(x,h)+\frac{1}{2} h^2 f''(x)+h f'(x)$$

Quiero entender bien lo que pasa aquí, me gustaría ver la derivación paso a paso de esta expresión.

Answer 1

Comienza con la serie de Taylor para $f(x)$

$$f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{1}{2!} f''(x_{0})(x-x_{0})^{2} + R(x,h)$$

con $R(x,h)$ sus términos de orden superior. Ahora, estás expandiendo alrededor del punto $x_{0} = x$ . Entonces, como argumento original de nuestra función $f$ es en realidad $x+h$ , mapeamos $x \mapsto x+h$ y por lo tanto

\begin{align} f(x+h) &= f(x) + f'(x)(x+h-x) + \frac{1}{2!} f''(x)(x+h-x)^{2} + R(x,h) \\ &= f(x) + hf'(x) + \frac{1}{2!} h^{2}f''(x) + R(x,h) \end{align}

reordenando, encontramos

$$f(x+h) - f(x) = hf'(x) + \frac{1}{2!} h^{2}f''(x) + R(x,h)$$

Answer 2

Considere $\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^{2}}{2!} f''(a)+ \int_{a}^{x} \frac{(x-t)^{2}}{2!} f'''(t) \, dt$

o alternativamente, $\displaystyle f(x+h)-f(x)=hf'(x)+\frac{h^{2}}{2!} f''(x)+ \int_{0}^{h} \frac{t^{2}}{2!} f'''(x+t) \, dt$

Puede verificarse fácilmente haciendo hacia atrás, con integración por partes, en el término restante.