Ampliación de las bases de Witt

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio lineal real de dimensión finita. Sea $B:X\times X \rightarrow \mathbf{R}$ sea una forma bilineal simétrica no degenerada. Sea $M$ , $N$ sean subespacios totalmente isotrópicos con la misma dimensión $r$ tal que $M\cap N=\{0\}$ .

Supongamos que $e_1, ...,e_s$ son linealmente indedentes en $M$ , $f_1,...,f_s$ son linealmente independientes en $N$ (donde $s< r$ ) y $B(e_i,f_j)=\delta_{i,j}$ para $i,j=1,...,s$ .

¿Es posible ampliar $e_1,...,e_s$ a una base $e_1,...,e_r$ en $M$ , $f_1,...,f_s$ a una base $f_1,...,f_r$ en $N$ de tal manera que $B(e_i,f_j)=\delta_{i,j}$ para $i,j=1,...,r$ ?

Sólo sé que para cada base $e_1,...,e_r$ en $M$ existe una base $f_1,...,f_r$ en $N$ tal que $B(e_i,f_j)=\delta_{i,j}$ para $i,j=1,...,r$ (Bourbaki, Álgebra, capítulo 11, $\S$ 4,2, Prop.2)

Gracias.

Answer 1

Creo que se necesita alguna suposición adicional como $X = M \oplus N$ .

Por ejemplo, si $s=0$ , sólo estás preguntando si cualesquiera 2 subespacios totalmente isotrópicos con intersección $\{0\}$ tienen bases que satisfacen $B(e_i, f_j) = \delta_{i,j}$ y esto será falso si se toma algún subespacio totalmente isotrópico $U = \langle e_1, e_2 \rangle $ y dividirlo en $M = \langle e_1 \rangle$ y $N = \langle e_2 \rangle$ . Todo el espacio podría seguir siendo lo suficientemente grande como para ser no degenerado.

Si asume $X = M \oplus N$ (así $X$ tiene dimensión $n=2r$ ), puedes hacerlo. Basta con mostrar cómo hacer un solo paso de $s$ a $s+1$ . Sea $M_s$ sea el tramo de $e_1, \ldots, e_s$ y que $N_s$ sea el tramo de $f_1, \ldots, f_s$ . Elige algunos $e = e_{s+1}$ no en $M_s$ . Por la no degeneración (y la suposición $X = M \oplus N$ ), $N \cap e^\perp$ es un subespacio propio de $N$ . Por lo tanto, existe un vector en $N$ fuera de ambos $N \cap e^\perp$ y $N_s$ (la unión de dos subespacios propios de $N$ no puede ser todo $N$ ). Elige un vector de este tipo y hazlo $f_{s+1}$ por construcción, se encuentra en $N$ y $B(e_{s+1}, f_{s+1})$ es distinto de cero y, por tanto, podemos escalar $f_{s+1}$ para que el producto interior sea igual a 1.