Una función creciente $f:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R}$ debe ser continua en cada elemento de $B$ excepto para un subconjunto contable de $B$

Question

Estoy tratando de demostrar el siguiente enunciado, pero me he atascado durante un tiempo y estoy buscando una pista sobre cómo probarlo:

"Supongamos $B\subset\mathbb{R}$ y $f:B\to\mathbb{R}$ es una función creciente. Demostrar que $f$ es continua en cada elemento de $B$ excepto para un subconjunto contable de $B$ ."

Lo que he intentado hacer:

Como no fui capaz de abordar la declaración original, lo intenté asumiendo que $B$ es también un conjunto de Borel para aprovechar de alguna manera el hecho de que $f$ debe ser entonces una función medible de Borel. Entonces, si $D:=\{x\in B: f\text{ is not continuous at }x\}$ y $C$ es un conjunto de Borel tenemos que $f^{-1}(C)$ es un conjunto de Borel y $f^{-1}(C)=(f^{-1}(C)\cap D)\cup (f^{-1}(C)\cap B\setminus D)$ y en este punto traté de seguir por contradicción, asumiendo que $D$ es incontable y trató de demostrar que $(f^{-1}(C)\cap D)\cup (f^{-1}(C)\cap B\setminus D)$ no es un conjunto de Borel pero no lo he conseguido así que agradecería mucho cualquier pista o comentario o explicación que pueda empujarme hacia un enfoque más fructífero, gracias .

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EDIT (Prueba): Sea $D:=\{x\in B:f\text{ is not continuous at }x\}$ : ya que $f$ es monótona (creciente) sólo puede tener discontinuidades de salto por lo que si $d\in D$ entonces $I_d:=(\lim\limits_{x \to d^-,\ x\in B\\}f(x),\lim\limits_{x \to d^+,\ x\in B}f(x))=(\sup_{x<d,\ x\in B}f(x),\inf_{x>d,\ x\in B} f(x))$ es un intervalo no vacío en $\mathbb{R}$ por lo que debe haber un número racional $q_d$ en ella que podemos elegir y como $I_d\cap I_{d'}=\emptyset$ para $d\neq d'$ * este número racional también es único por lo que podemos definir una función inyectiva $g:D\to\mathbb{Q}, g(d):=q_d$ . Así, $\#(D)\leq \#(\mathbb{Q})=\#(\mathbb{N})$ es decir, el conjunto de puntos en los que $f$ es discontinua es (a lo sumo) contable, como se desea. $\square$

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(*) Supongamos $I_d\cap I_{d'}\neq\emptyset$ para algunos $d\neq d'$ (podemos suponer wlog que $d<d'$ ): entonces debe haber $y\in I_d\cap I_{d'}$ así que $\sup_{x<d,\ x\in B}f(x)<y<\inf_{x>d,\ x\in B}f(x)$ y $\sup_{x<d',\ x\in B}f(x)<y<\inf_{x>d',\ x\in B}f(x)$ lo que implica (ya que $d\leq d'\Rightarrow \inf_{x>d,\ x\in B}f(x)\leq \sup_{x<d', x\in B}f(x)$ ) que $y<y$ contradicción.

Answer 1

Si $f$ no es continua en $x\in B$ entonces $\inf\{\,f(t)\mid t\in B, t>x\,\}>\sup\{\,f(t)\mid t\in B, t<x\,\}$ (incluyendo la posibilidad $\inf=+\infty$ o $\sup=-\infty$ ). Escoge un racional entre este $\inf $ y $\sup$ y así obtener un mapa inyectivo desde el conjunto de discontinuidades a $\Bbb Q$ .

Answer 2

Supongamos que $B = (a, b).$ Si $x < y < z$ entonces $f(x) \leq f(y) \leq f(z)$ y cada discontinuidad debe ser una discontinuidad de salto. Si $\mathrm{J}_n$ es el conjunto de saltos con tamaño $> \dfrac{1}{n},$ entonces $\mathrm{J}_n$ es finito y la prueba es la siguiente. Q.E.D.