Es $\{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos{nx}\}, n=1,2,3...$ una base completa en $L^2([0, \pi])$ ?

Question

Lo anterior es un ejercicio de Inicio del análisis funcional por Saxe. Abordo el problema extendiendo una función arbitraria simétricamente a $-\pi$ y argumentando a través de la convergencia de la serie clásica de Fourier. Sin embargo, no puedo evitar la necesidad de un término inicial $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ . He encontrado este término inicial incluido en uno o dos lugares en línea, pero esta evidencia es tentativa.

Conozco una pregunta contestada con respecto a la serie sinusoidal análoga, pero deducir que se aplica directamente es asumir que la respuesta es igualmente análoga.

Answer 1

Sugerencia: si $\{e_n\}$ es una base completa y $\langle x,e_n\rangle=0$ para todos $n$ entonces $x=0$ .

Answer 2

El siguiente es un problema de función propia autoadjunta: $$ -y''=\lambda y,\;\;\; y'(0)=y'(\pi)=0. $$ Las funciones propias de este problema forman una base ortogonal de $L^2[0,\pi]$ . Las funciones propias no normalizadas son $$ 1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\cdots. $$ Así, las funciones propias normalizadas forman una base ortonormal completa de $L^2[0,\pi]$ : $$ \frac{1}{\sqrt{\pi}},\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos(nx),\;\;\; n=1,2,3,\cdot. $$ El problema $-y''=\lambda y$ con $y(0)=y(\pi)=0$ da el habitual $\sin$ base $$ \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(nx),\;\;\; n=1,2,3,4,\cdots. $$