¿Ejemplo de un espacio vectorial que no es un espacio topológico?

Question

He visto esto en Wikipedia sobre el jerarquía de espacios :

Más adelante en el artículo, se afirma que los bloques de construcción fundamentales de los espacios matemáticos son los espacios vectoriales y los espacios topológicos. Sin embargo, no me queda claro cómo se relacionan los espacios topológicos y los espacios vectoriales, si es que lo hacen.

¿Puede alguien dar un ejemplo de un espacio vectorial que no sea un espacio topológico y viceversa?

Answer 1

Tu pregunta es un poco más sutil de lo que crees. Se trata de "espacios" que tienen una estructura geométrica. Los espacios de producto interno, que son un ejemplo de todos los tipos de espacios que contienen, tienen una estructura geométrica compatible con los axiomas de los espacios vectoriales. En el nivel superior eso significa que la suma de vectores y la multiplicación escalar son funciones continuas en la topología definida por el producto interior en los espacios de la parte inferior de la jerarquía.

Para responder a la pregunta exacta que ha formulado, vamos a $V$ sea un espacio vectorial cualquiera. Entonces, pensando en $V$ como un simple conjunto (ignorando la estructura del espacio vectorial), puedes equiparlo con la topología que quieras.

Hay espacios topológicos que no pueden convertirse en espacios vectoriales. Consideremos un $6$ conjunto de elementos, con la topología discreta. No se puede dar una estructura de espacio vectorial, ni siquiera sobre un campo finito.

Answer 2

Los espacios vectoriales y los espacios topológicos son conceptos fundamentalmente diferentes; uno es un conjunto con suma y multiplicación escalar, el otro un conjunto junto con un conjunto de subconjuntos (los conjuntos abiertos) con ciertas restricciones.

Answer 3

El diagrama que muestras está demostrando que cualquier espacio de producto interno es un espacio vectorial normado, cualquier espacio vectorial normado es a su vez un espacio métrico, y cualquier espacio métrico es a su vez un espacio topológico.

Un espacio topológico no es un espacio vectorial porque... bueno, simplemente no lo es. No satisface las cosas que se requieren para que sea un espacio vectorial. Te pongo como ejemplo el llamado Espacio Sierpinski . Está claro que no es un espacio vectorial.

A su vez, un espacio vectorial no es un espacio topológico a menos que se defina una topología sobre él. El comentario de Jacky explica que, dado un espacio vectorial cualquiera, se le puede dar, por ejemplo, la topología discreta, con lo que se obtiene un espacio vectorial que también es un espacio topológico.

Sin embargo, en general, un espacio vectorial no es un espacio topológico.