es la función $f(x,y) = x \ln(x^2 + 3y^2)$ continua en $(0,0)$ ?

Question

No puedo resolver este problema y me gustaría recibir ayuda: ¿Es la función $f(x,y) = x\ln(x^2 + 3y^2)$ continua en $(0,0)$ $f(0,0)=0$ ?

Answer 1

No has dicho cuál es el valor de la función en $(0,0)$ pero si $f(0,0) = 0$ entonces la función es continua en $(0,0)$ . He aquí algunas pistas sobre el porqué de esta situación.

Dato útil $1)$ : $$|x\ln(x^2 + 3y^2)| \leq |(x^2 + 3y^2)^{1 \over 2}\ln(x^2 + 3y^2)|$$ Dato útil $2)$ : $$\lim_{r \rightarrow 0^+}r^{1 \over 2} \ln r = 0$$ Dato útil $3)$ : La regla del apretón.

Ahora trata de juntar todo esto, o utiliza variaciones de las afirmaciones anteriores.

Answer 2

Una pista:

Al pasar a coordenadas polares se obtiene $$|f(r,\phi)| = |r\cos(\phi)\cdot \ln(r^2(1+2\cos^2\phi))| \le r|\ln (r^2)| \xrightarrow{r\to 0} 0$$

desde $r\mapsto\left|\ln r\right|$ es decreciente para un número pequeño de $r$ y $1+2\cos^2\phi \ge 1$ .

Por lo tanto, $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0$ .

Answer 3

$x→0$ más rápido que el término ln →-∞, por lo que el $f(x,y)$ es continua en $(0,0)$ (la prueba sigue). De hecho $f(0,y)=0$ para cualquier valor de $y$ . En caso de que haya alguna duda sobre $f(0,0)$ siendo indefinido, simplemente llámalo $=0$ en ese momento. .

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x^2+3y^2\lt 1$

Para $x\gt 0$ , $xln(x^2)\lt xln(x^2+3y^2)\lt 0$ .

Para $x\lt 0$ , $xln(x^2)\gt xln(x^2+3y^2)\gt 0$ . En ambos casos $xlnx^2\to 0$ como $x\to0$ para que $f(x,y)\to 0$ .

.

Por lo tanto, $f(x,y)$ es continua en $(0,0)$ .