Resolver $y'(t)=\operatorname{sin}(t)+\int_0^t y(x)\operatorname{cos}(t-x)dx$ mediante la transformada de Laplace

Question

Pregunta:

Resolver $y'(t)=\operatorname{sin}(t)+\int_0^t y(x)\operatorname{cos}(t-x)dx$ tal que $y(0)=0$

Mi intento:
He aplicado la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación.

$ sL\{y(t)\} = \frac{1}{s^2+1}+L\{cos(t)*y(t)\} \implies sL\{y(t)\}=\frac{1}{s^2+1}+L\{cos(t)\}\times L\{y(t)\} $
$\implies L\{y(t)\} = \frac{s^2-1}{(s^3-s-1)(s^2+1)} $ (*)

Ahora, estoy atascado en la aplicación de la transformada inversa de Laplace en (*) para encontrar $y(t)$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia . Usted está en el camino correcto. Pero por favor, compruebe sus resultados, ya que desde su identidad $$ sL\{y(t)\}(s)=\frac{1}{s^2+1}+L\{cos(t)\}(s)\times L\{y(t)\} (s) $$ utilizando $$ L\{cos(t)\}(s)=\frac{s}{s^2+1} $$ Yo más bien me pongo $$ L\{y(t)\}(s)=\frac1{s^3} $$ que ahora es estándar para resolver.

Answer 2

$sL\{y(t)\} = \frac{1}{s^2+1}+L\{cos(t)*y(t)\} $

$sL\{y(t)\} = \frac{1}{s^2+1}+L\{y(t)\}*\frac s {s^2+1} $

$L\{y(t)\}(s- \frac s {s^2+1})= \frac{1}{s^2+1}$

Aquí cometiste un error, supongo

$L\{y(t)\}( \frac {s^3-s+s} {s^2+1})= \frac{1}{s^2+1} $

$L\{y(t)\}= \frac{1}{s^3} $