Dada: $E(\mathbf{x})=\mathbf {x^tWx}$
Donde x es vector y W es matriz, ¿alguien puede explicarme cómo puedo derivar fácilmente la siguiente ecuación (si es correcta, si no, cuál debería ser)?
$\nabla E(\mathbf{x}) = \mathbf{Wx} + \mathbf{W^tx}$
Respuesta
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Explícitamente, utilizando índices, la expresión es (donde $i$ rangos según corresponda)
$$\nabla(x^TAx)=\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{\ell, m}x_\ell A_{\ell m}x_m.$$
Calcula $\displaystyle\frac{\partial x_\ell x_m}{\partial x_i}=\delta_{i\ell}x_m+x_\ell\delta_{im}$ con la regla del producto (véase Delta de Kronecker ). Enchufando,
$$\sum_{\ell,m}A_{\ell m}(\delta_{i\ell}x_m+x_\ell\delta_{im})=\left(\sum_{m}A_{im}x_m\right)+\left(\sum_{\ell}x_\ell A_{\ell i}\right)=Ax+A^Tx. $$
