Si sé para dos números a y b que
$${a < b }$$
Entonces, ¿es correcto decir que
$$ a \leq b $$
Sé que la segunda afirmación es cierta siempre que la primera lo sea. Me parece bien, ya que es verdadera, pero desde el otro lado me parece un poco raro (para mí), decir que, si sabes, que a es estrictamente menos que B. Es como si se perdiera alguna información extra.
Tienes un buen conocimiento de la materia:
Es cierto que $a\lt b \implies a\leq b$ ya que $$a \leq b \iff (a\lt b\;\text{or}\;a = b)$$
Si necesita probar $a \leq b$ entonces basta con demostrar que $a < b$ o $a = b$ .
Por otro lado, si necesita (o quiere) demostrar $a$ es estrictamente inferior a $b$ entonces es necesario demostrar $a < b$ .
Puede haber, efectivamente, cierta pérdida de información, al igual que perdemos información cuando, sabiendo $x = 3$ sólo afirmamos la afirmación (verdadera) de que $x \leq 3$ .
Pero hay ejemplos en los que podemos reclamar una gama más amplia de valores utilizando el concepto inclusivo $\leq$ .
No sé si este ejemplo será de ayuda, pero si se trata de demostrar, por inducción, que $n^2 \leq 2^n$ para $n>3$ en su prueba inductiva, primero tenemos el caso base $n = 4$ donde la desigualdad se mantiene precisamente porque la igualdad se mantiene: $4^2 = 2^4$ Por lo tanto $4^2 \leq 2^4$ es cierto.
Pero en el paso inductivo, se podría utilizar la siguiente cadena: $$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \leq 2^n + \underbrace{2n + 1}_{\large <\; 2^n,\,n\geq 3} \lt 2^n + 2^n = 2\cdot 2^n = 2^{n+1}$$
Así que en el paso inductivo, aunque encontremos que tenemos una desigualdad estricta involucrada, el punto de la inducción es probar $n^2 \leq 2^n$ , para $n \gt 3$ y como el caso base es verdadero (porque la igualdad se mantiene), en realidad podemos decir más afirmando la desigualdad NO estricta (ya que el rango de $n$ para el que la proposición es verdadera es mayor con $\leq$ que con $\lt$ .)
Al final, la cantidad de información transmitida por la elección de utilizar $\lt$ contra. $\leq$ depende, como muchas opciones, del contexto.
Es correcto decir que si $a < b$ entonces $a \le b$ . Y sí, estoy completamente de acuerdo contigo: si se muestra explícitamente $a < b$ Hay una cierta "pérdida" de información cuando escribimos $a \le b$ en lugar de ser concreto.
" $\le$ " es, sin embargo, muy útil en problemas matemáticos prácticos de la vida real, como la optimización, cuando se quiere decir que una cantidad no excede de otro.
Piensa en ello como "puede ser". Por ejemplo:
ab significa: puede ser que un < b, o puede ser que a=b, o puede ser que a
Ejemplo 1: Digamos que x es un número real cualquiera de manera que x3
Entonces x puede ser menor que 3, o x puede ser 3, o x puede ser cualquier cosa menor que 3 hasta 3.
En este ejemplo, cualquier opción satisfará la declaración inicial.
Ejemplo 2: Digamos que 2<3, entonces 23
23 significa: puede ser que 2<3, o puede ser 2=3, o 2<3 y 2=3.
Como encontramos que 23 puede ser 2<3 como verdadero, 2<3 implica 23.
Ejemplo 3: (si sigue siendo confuso) Quiero zumo de limón
Vas a la cocina y encuentras zumo de naranja y de limón. ¿Qué me das? Puedes darme zumo de naranja, o de limón, o ambos.
Como sólo quiero zumo de limón, su única opción es el zumo de limón. Así que, aunque este ejemplo es una tontería, muestra que lo que ves es más que lo que te piden. Usar OR significa que "puede ser" como una opción. Siempre hay que contar con la parte inclusiva. Por ejemplo, la probabilidad de A o B, tienes que restar la probabilidad de A y B si quieres probabilidades independientes.
Sé que son muchos ejemplos, pero espero que sirvan de ayuda.
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