Cómo encontrar el $\max|z|$ y $\min|z|$ para $|z+(4/z)|=2$ ?

Question

Dejemos que $z$ sea un número complejo que satisfaga $|z+(4/z)|=2$ entonces encuentra $\max|z|$ y $\min|z|$ .

Sólo necesito saber cómo debo enfocar este problema.

Answer 1

El módulo máximo

Tenemos por la desigualdad del triángulo que $$2=\left|z+\frac{4}{z}\right|\geq |z|-\frac{4}{|z|}\,.$$ Así, $$|z|^2-2|z|-4\leq 0\,.$$ Esto significa que $$-\sqrt{5}+1\leq |z|\leq \sqrt{5}+1\,.$$ Por lo tanto, $$|z|\leq \sqrt{5}+1\,.$$ La igualdad se mantiene si $z=\pm(\sqrt5+1)\,\text{i}$ .

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El módulo mínimo

Tenemos por la desigualdad del triángulo que $$2=\left|z+\frac{4}{z}\right|\geq \frac{4}{|z|}-|z|\,.$$ Así, $$|z|^2+2|z|-4\geq 0\,.$$ Esto significa que $$|z|\geq \sqrt{5}-1\text{ or }|z|\leq -\sqrt{5}-1\,.$$ Por lo tanto, $$|z|\geq \sqrt{5}-1\,.$$ La igualdad se mantiene si $z=\pm (\sqrt{5}-1)\,\text{i}$ .