Palabra que describe un trozo de espacio multidimensional

Question

Estoy en el mercado para una matemática (o de otra manera) término para describir una porción de un hipercubo .

Tensor está fuera de juego ya que ese es el nombre del objeto que estoy cortando.

El segundo con el que podría echar una mano es un término para describir un índice (o punto de acceso ) que abarca más de un punto en cada dimensión.

Por ejemplo:

• Índice regular [1, 2, 1] accedería al índice 1 de la dimensión 1, al índice 2 de la dimensión 2 y al índice 1 de la dimensión 3
• Índice de extensión (o lo que sea) [3->4, 1, 4->9] accedería a todos los elementos entre los índices 3 y 4 de la dimensión-1, el índice 1 de la dimensión-2, etc.

Dime si esto es más adecuado en el StackExchange de Matemáticas.

Answer 1

No sé de terminología, pero permíteme intentar formalizar lo que creo que quieres decir, con la máxima generalidad. Tal vez esto es realmente lo que está buscando; si no es así, oh, bueno.

Esta respuesta supone un conocimiento básico de ordinales de von Neumann . La segunda parte supone un conocimiento básico de functores (en general), y el producto functor en particular.

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Definición 0. Supongamos que $X$ es un conjunto y $\alpha$ es un $n$ -secuencia larga de ordinales. Entonces un $X$ -valorización de la matriz de la forma $\alpha$ es una función $X \leftarrow \prod_{i<n} \alpha_i.$

Así, por ejemplo, si $A$ es un $X$ -valorización de la matriz de la forma $(3,4,5)$ entonces el valor almacenado en $(1,2,1)$ se denota $A(1,2,1)$ y esto es un elemento de $X$ .

De todos modos, como los arrays son sólo funciones, podemos utilizar la notación matemática estándar para obtener sus "rebanadas". Por ejemplo, si $A$ tiene forma $(3,4,5)$ entonces $A(1,-,-)$ es la correspondiente matriz de forma $(4,5)$ definida de forma obvia. Así, las "rodajas" bidimensionales que se obtienen eligiendo diferentes valores para el primer índice son

$$A(0,-,-) \qquad A(1,-,-) \qquad A(2,-,-)$$

y estos son todos $X$ -valores de matrices de forma $(4,5).$

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Su segunda pregunta es mucho más interesante. Lo sorprendente de los ordinales es que la siguiente definición tiene sentido:

Definición 1. Supongamos que $\beta$ es un ordinal y $S$ es un subconjunto de $\beta$ . Entonces escribimos $\mathrm{ord}_S$ para el único ordinal que es isomorfo de orden a $S$ y escribimos $S^*$ para el único isomorfismo de este tipo $S \leftarrow \mathrm{ord}_S$ .

Lo bueno de esto es lo siguiente. Supongamos que nos dan un array $A$ de la forma $(10,10,10).$ Supongamos que me interesa la "submatriz" dada por [3->4, 1, 4->9]. Bueno, esto puede ser formalmente definido como:

$$A \circ ([3,4]^* \times [1]^* \times [4,9]^*)$$

donde $\times$ se entiende como un functor en la forma habitual.