Para el grupo $\mathbb{Z}_n$ (arbitraria) $n$ ) Quiero hacer un gráfico $G$ donde $\operatorname{Aut}(G)\simeq \mathbb{Z}_n$ , para $n=2$ es $P_n$ y $K_2$ (si no me equivoco), ¿cómo debo construir $G$ ?
Respuesta
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El pdf que Uma enlazó en los comentarios da la idea, pero lo expondré aquí. Básicamente queremos un $n$ -pero no queremos que haya simetría de reflexión, así que tomamos una $n$ -ciclo y reemplazar cada arista dirigida $$\bullet \to \bullet$$ con el grafo no dirigido $$\bullet - \overset{\overset{\overset{\overset{\bullet}{|}}{\bullet}}{|}}{\bullet} - \overset{\overset{\bullet}{|}}{\bullet} - \bullet$$ No es difícil ver que un automorfismo del grafo debe preservar estas piezas y su orientación, por lo que esto no cambia el grupo de automorfismo.
