¿Cómo puedo demostrar que $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k-1}{2^k} = 0$ ?

Question

Estoy estudiando el libro de algoritmos y tengo una duda.

No sé cómo puedo probar esta suma:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k-1)}{2^k} = 0$$

Answer 1

(El primer término es negativo y el segundo es cero. Así que no todos los términos son positivos).

Reescribe la suma como $$ \lim_{ n \to \infty} \sum_{k = 1}^{k = n } \frac {k -2}{2^{k-1}} $$ . Se trata de una serie aritmética geométrica.

Para una serie aritmética geométrica general con el primer término a, diferencia d y razón común r tenemos :

$$ \sum _{k = 1}^{k = n } \left [ a + (k-1) d \right ]r^{k-1} = \frac {a - [ a + (n-1)d] r^{n}}{1-r} + \frac {dr( 1- r^{n-1})}{(1-r)^2} $$

Así, la suma en el presente caso viene dada por :

$$ \lim_{ n \to \infty } \left [ \displaystyle \frac {-1 - [n-2] \displaystyle \frac {1}{2^{n}}}{ \displaystyle \frac {1}{2}} + 2 \left ( 1 - \displaystyle \frac {1}{2^{n-1}} \right ) \right ]$$

Por tanto, la suma es 0.