¿Cómo puedo demostrar que $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k-1}{2^k} = 0$ ?

Question

Estoy estudiando el libro de algoritmos y tengo una duda.

No sé cómo puedo probar esta suma:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k-1)}{2^k} = 0$$

Answer 1

Sugerencia

Considere $$\sum_{k=0}^{\infty} (k-1){x^k} =\sum_{k=0}^{\infty} k{x^k}-\sum_{k=0}^{\infty} {x^k}=x\sum_{k=0}^{\infty} k{x^{k-1}}-\sum_{k=0}^{\infty} {x^k}$$ y observe que la primera suma es la derivada de $something$ . Entonces, te enfrentas a una serie geométrica y más o menos a su derivada. Utiliza las fórmulas y sustituye $x$ por $\frac{1}{2}$ .

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.

Answer 2

Dejemos que $S = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k-1}{2^k}$ . Entonces $2S = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k-1}{2^{k-1}} = \sum_{k=-1}^{\infty}\frac{k}{2^{k}}$ .

Resta la primera ecuación de la segunda.

$S = -2 + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k} = -2 + 2 = 0$

Answer 3

Tenemos para $|x|<1$

$$\sum_{k=1}^\infty x^k=\frac{x}{1-x}$$ así que diferenciamos término por término:

$$\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1}=\frac{d}{dx}\frac{x}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}$$ Ahora escribimos la suma dada en esta forma (con $x=\frac12$ )

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{k-1}{2^k}=-1+\sum_{k=2}^\infty\frac{k-1}{2^k}=-1+\frac14\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^{k-1}}=-1+\frac14\times\frac{1}{\left(1-\frac12\right)^2}=0$$

Answer 4

Sugerencia : Taylor ampliar $$\left(x\frac{d}{dx}-1\right)\frac{1}{1-x}$$ alrededor de $x=0$ .

Answer 5

Definir $$f(x)=\sum_{k=2}^\infty x^{k-1}=\frac x{1-x}$$ para $x\in(0,1)$ . Entonces, $$f'(x)=\sum_{k=2}^\infty(k-1)x^{k-2}=\frac{1}{(1-x)^2}$$ Por lo tanto, $$\sum_{k=0}^\infty\frac{k-1}{2^k}=-1+0+\frac14f'(\frac12)=-1+\frac44=0$$