Los vectores propios y los vectores propios generalizados no son lo mismo.

Question

Dejemos que $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 4 & 0 & -3\\ \end{bmatrix}$ . Se puede ver que los valores propios correspondientes son $\{-2,-2,1 \}$ . Encontrando los vectores propios vemos que obtenemos un vector propio corr a $-2$ que es $\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 4\\ \end{bmatrix}$ y el vector propio corr a $1$ es $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix}$ . Tenemos el valor propio $-2$ de la multiplicidad $2$ pero sólo tiene un vector propio independiente por lo que la matriz $A$ es defectuoso. Así que usamos el método para fingir el vector propio generalizado.

Pero cuando calculo $(A+2I)^2(x)=0$ para encontrar los vectores propios obtengo un conjunto completamente diferente de vectores propios $\{\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ -4\\ \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -4\\ \end{bmatrix} \}.$

¿Pero cómo es esto posible?

Tener una gran confusión. Por favor, ayuda.

Answer 1

No hay ningún problema. Así que cuando se resuelve $(A+2I)^2X=0$ se encuentran dos vectores propios generalizados $(1,0,-4)$ y $(0,1,-4)$ . Ahora no sabes que uno de ellos tiene que ser un vector propio, pero sí sabes que hay un vector propio en el espacio que abarcan estos dos vectores. Y efectivamente, $(1,-2,4)=(1,0,-4)-2(0,1,-4)$ .

Los vectores propios generalizados generalizan los vectores propios en el sentido de que el espacio abarcado por los vectores propios que pertenecen a algún valor propio está contenido en el espacio abarcado por los correspondientes vectores propios generalizados.

Answer 2

La cuestión es. La multiplicidad algebraica del valor propio -2 es 2. Pero la multiplicidad geométrica es 1. Así que sólo hay 1 vector propio para este valor propio.

Si resuelve $(A+2I)^2(x)=0$ las soluciones ya no son Eigenvectores (pero no sé la palabra en inglés). Tomando la solución de $(A+2I)^2(x)=0$ puedes obtener la forma normal de Jordan, en lugar de diagonalizarla.