Cómo encontrar esto $\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{x}$

Question

Evaluar $$I=\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{x}$$

Mi intento: Usar la regla de L'Hôpital. Tenemos $$I=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}\left(\dfrac{x}{x+1}-\ln{(x+1)}\right)-(1+2x)^{1/2x}\left(\dfrac{4x}{1+2x}-2\ln{(1+2x)}\right)$$

Estoy atascado. Muchas gracias por su ayuda

Answer 1

Dejemos que $f(x)=(1+x)^{1/x}$ . Usted sabe $f(0)=e$ hace $f$ continua en $x=0$ . Entonces estás viendo $$I=\lim_{x\to 0}\dfrac{ f(x)-f(0)-(f(2x)-f(0))}{x}$$

Por lo tanto, lo único que hay que encontrar es la derivada de $f(x)$ y $f(2x)$ en $x=0$ .

Answer 2

Una pista:

Aplicando la expansión de Taylor

$$(1+x)^{\frac{1}{x}}=\exp\left\{\frac{\ln(1+x)}{x}\right\}=\exp\left\{1-\frac{x}{2}+O(x)\right\}=e-\frac{ex}{2}+O(x)$$

$$(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=\exp\left\{\frac{\ln(1+2x)}{2x}\right\}=\exp\left\{1-x+O(x)\right\}=e-ex+O(x)$$

Por lo tanto, $$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{e}{2}+\frac{O(x)}{x}\right)=\frac{e}{2}$$