Hay al menos tres nociones de base, dependiendo de la estructura matemática que usted está considerando. Voy rápidamente a discutir tres casos relevantes en física (espacios vectoriales topológicos también son pertinentes, pero yo no las tendrá en cuenta para el batido de la brevedad).
(1) Pura estructura algebraica (es decir, la estructura de espacio vectorial sobre el campo $\mathbb K=$ $\mathbb R$ o $\mathbb C$, en realidad, la definición se aplica también a los módulos).
Base en el sentido de Hamel.
Dado un espacio vectorial $V$ sobre el campo de $\mathbb K$, un conjunto $B \subset V$ se llama algebraicas base o base de Hamel, si sus elementos son linealmente independientes, y cada una de las $v \in V$ puede descomponerse como: $$v = \sum_{b \in B} c_b b$$
para un finito conjunto de no-desaparición de los números de $c_b$ $\mathbb K$ dependiendo $v$.
La integridad de $B$ significa aquí que el conjunto de lineales finitas combinaciones de elementos en $B$ incluye (de hecho coincidir a) todo el espacio $V$.
Observaciones.
Esta definición se aplica a las infinitas dimensiones espacios vectoriales, también. La existencia de bases algebraicas surge desde el lema de Zorn.
Es posible demostrar que todos los algebraicas bases tienen la misma cardinalidad.
La descomposición de la $v$ sobre la base $B$ resulta ser único.
(2) el espacio de Banach de la estructura (es decir, el espacio vectorial sobre $\mathbb K$ admite que una norma $||\:\:|| : V \to \mathbb R$, y se completa con respecto a la métrica de la topología inducida por la norma).
Base en el sentido de Schauder.
Dado un infinito dimensional espacio de Banach $V$ sobre el campo de $\mathbb K = \mathbb C$ o $\mathbb R$, un contable ordenado conjunto de $B := \{b_n\}_{n\in \mathbb N} \subset V$ se llama base de Schauder, si cada $v \in V$ puede ser únicamente descomponerse como: $$v = \sum_{n \in \mathbb N} c_n b_n\quad (2)$$
para un conjunto, generalmente infinito, de los números de $c_n \in \mathbb K$ dependiendo $v$ donde la convergencia de la suma se refiere tanto a la topología del espacio de Banach y el orden utilizado en el etiquetado de $B$. La identidad (2) significa:
$$\lim_{N \to +\infty} \left|\left|v - \sum_{n=1}^N c_{n} b_n\right|\right| =0$$
La integridad de $B$ significa aquí que el conjunto de countably infinito de combinaciones lineales de los elementos de la $B$ incluye (de hecho coincidir a) todo el espacio $V$.
Observaciones.
Los elementos de una base de Schauder son linealmente independientes (tanto para el finito y el infinito de combinaciones lineales).
Un infinito dimensional espacio de Banach también admite bases de Hamel, ya que es un espacio vectorial. Sin embargo, es posible demostrar que Hamel bases siempre son incontables de manera diferente forma de Schauder.
No todas las infinitas dimensiones de Banach espacio admitir bases de Schauder. Una condición necesaria, pero no suficiente, la condición es que el espacio debe ser separable (es decir, que contiene una densa contables subconjunto).
(3) el espacio de Hilbert de la estructura (es decir, el espacio vectorial sobre $\mathbb K$ admite un producto escalar $\langle \:\:| \:\:\rangle : V \to \mathbb K$, y se completa con respecto a la métrica de la topología inducida por la norma
$||\:\:||:= \sqrt{\langle \:\:| \:\:\rangle }$).
Base en el sentido de Hilbert (Riesz - von Neumann).
Dado un infinito dimensional espacio de Hilbert $V$ sobre el campo de $\mathbb K = \mathbb C$ o $\mathbb R$, un conjunto $B \subset V$ se llama base de Hilbert, si las condiciones siguientes son verdaderas:
(1) $\langle z | z \rangle =1$ y $\langle z | z' \rangle =0$
si $z,z' \in B$$z\neq z'$, es decir, $B$ es un ortonormales sistema;
(2) si $\langle x | z \rangle =0$ todos los $z\in B$ $x=0$ ($B$ es maximal con respecto a la ortogonalidad requisito).
Hilbert bases se denominan también sistemas ortonormales completos (de vectores).
Las propiedades relevantes de Hilbert bases son totalmente comprendidas dentro de los siguientes pares de proposiciones.
La proposición. Si $H$ es un (complejo o real) espacio de Hilbert y $B\subset H$ es un ortonormales sistema (no necesariamente completas) a continuación, para cada $x \in H$ el conjunto de no-desaparición de los elementos $\langle x| z \rangle$ $z\in B$ es en la mayoría de los contables.
Teorema. Si $H$ es un (complejo o real) espacio de Hilbert y $B\subset H$ es una base de Hilbert, entonces las siguientes identidades de espera, donde el orden empleado en el cálculo de la infinita sumas (de hecho contables de las sumas debidas a la proposición anterior) no importa:
$$||x||^2 = \sum_{z\in B} |\langle x| z\rangle|^2\:, \qquad \forall x \in H\:,\qquad (3)$$
$$\langle x| y \rangle = \sum_{z\in B} \langle x|z \rangle \langle z| y\rangle\:, \qquad \forall x,y \in H\:,\qquad (4)$$
$$\lim_{n \to +\infty} \left|\left| x - \sum_{n=0}^N z_n \langle z_n|x \rangle \right|\right| =0\:, \qquad \forall x \in H \:,\qquad (5)$$
donde el $z_n$ son los elementos en $B$$\langle z|x\rangle \neq 0$.
Si un ortonormales sistema verifica uno de los tres requisitos anteriores, entonces es un Hibertian base.
La integridad de $B$ significa aquí que el conjunto de infinitas combinaciones lineales de los elementos de la $B$ incluye (de hecho coincidir a) todo el espacio $H$.
Observaciones.
Los elementos de una base de Hilbert son linealmente independientes (tanto para el finito y el infinito de combinaciones lineales).
Todos los espacios de Hilbert admitir correspondiente Hilbert bases. En un espacio de Hilbert todos Hilbert bases tienen la misma cardinalidad.
Un infinito dimensional espacio de Hilbert separable (es decir, contiene una densa contables subconjunto) si y sólo si se admite una contables de Hilbert.
Un infinito dimensional espacio de Hilbert también admite bases de Hamel, ya que es un espacio vectorial así.
En un separables de infinitas dimensiones espacio de Hilbert de una base de Hilbert es también una base de Schauder (lo contrario es generalmente falso).
LOS COMENTARIOS FINALES.
Identidades como este:
$$ \sum_n \phi_n(x) \phi_n^*(x') = \frac{1}{w(x)}\delta(x-x') \,\qquad (6)$$
la estancia de la integridad de la propiedad de una base de Hilbert en $L^2(X, w(x)dx)$: la Identidad (6) no es sino una versión formal de la ecuación (4) anterior.
Sin embargo, dicha identidad es completamente formal y, en general, no se sostiene si $\{\phi_n\}$ es una base de Hilbert $L^2(X, w(x)dx)$ (también debido a que el valor de $\phi_n$ $x$ no tiene ningún sentido en $L^2$ espacios, ya que sus elementos se definen a cero medir conjuntos y $\{x\}$ tiene medida cero). Esa identidad en algún momento mantiene rigurosamente si (1) las funciones de $\phi_n$ son lo suficientemente regulares y (2) la identidad es entendida en la distribución sentido, el trabajo con adecuadamente suave funciones de prueba como ${\cal S}(\mathbb R)$$\mathbb R$.
En $L^2(\mathbb R, d^nx)$ todos los espacios de Hilbert bases contables. Creo que de la base de vectores propios del operador Hamiltoniano de un oscilador Armónico en $L^2(\mathbb R)$ ($\mathbb R^n$ uno puede usar un $n$ dimensiones de oscilador armónico). Sin embargo, esencialmente para la práctica cálculos es conveniente también habla de formal vectores propios de, por ejemplo, la posición del operador: $|x\rangle$. En este caso, $x \in \mathbb R$, por lo que podría parecer que $L^2(\mathbb R)$ admite también innumerables bases. Es falso! $\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ es no un ortonormales. Es sólo un objeto formal, (muy) útil en los cálculos.
Si usted desea hacer riguroso de estos objetos, usted debe imaginar el espacio de los estados como un directo integral sobre $\mathbb R$ finito de espacios dimensionales $\mathbb C$, o como un amañado espacio de Hilbert. En ambos casos, sin embargo, $\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ no es un ortonormales Hilbertian base. Y $|x\rangle$ no pertenece a $L^2(\mathbb R)$.
Hilbert bases no son suficientes para el estado y demostrar la descomposición espectral teorema para el normal de los operadores en un espacio de Hilbert complejo. Normal operadores de $A$ son los verificando $AA^\dagger= A^\dagger A$, unitaria y auto-adjuntos son casos particulares.
La noción de la base de Hilbert es sin embargo suficiente para afirmar dicho teorema para el normal compacto operadores o normal operadores cuyo resolvent es compacto. En ese caso, el espectro es un puro punto de espectro (con sólo un punto en el continuo del espectro). Sucede, por ejemplo, para el operador Hamiltoniano del oscilador armónico. En general, se ha de introducir la noción de espectral medida o PVM (proyector de valores de medida) para tratar el caso general.
