Mostrar equivalencia en $m^q =n$ para $\Bbb Z$

Question

Caballeros,

Me gustaría pedirle su ayuda.

Tengo esta pregunta pero no tengo ni idea de cómo resolverlo.

La relación $\sim$ en $\mathbb{Z}^{+}$ viene dado por m $\sim$ n si y sólo si existe $q \in$ $\mathbb{Q}^{+}$ tal que $m^{q} = n$ .

(i) Demuestre que $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}^{+}$

(ii) Lista $5$ elementos más pequeños de la clase de equivalencia $[9]$ .

Le agradezco mucho su tiempo y su paciencia.

Answer 1

(i) Mostrar las tres propiedades de una relación de equivalencia :

1) Reflexividad: Dejemos que $m \in \mathbb{Z}^+$ entonces $ m \sim m$ como $m = m^q$ con $q=1$ .

2) Simetría: Sea $m,n \in \mathbb{Z}$ entonces si $m \sim n \Rightarrow \ \exists\ q \in \mathbb{Q}^+ $ tal que $ m^q = n$ entonces $ n^{\frac{1}{q}} = m$ y $\frac{1}{q} \in \mathbb{Q}^+$ . Por lo tanto, $n \sim m$ .

3) Transitividad: Sea $l,m,n \in \mathbb{Z}^+$ con $l \sim m$ y $m \sim n$ entonces $\exists$ $p,q \in \mathbb{Q}^+$ tal que $ l^p = m, m^q =n \Rightarrow (l^p)^q = l^{pq} = n$ ya que $pq \in \mathbb{Q}^+$ Por lo tanto $l \sim n$ .

(ii) La clase $[9]$ tendrá números $x$ en $\mathbb{Z}^+$ tal que $x \sim 9$ . Los números más pequeños serán $3,9,27,81,243.$ Sólo pueden existir aquellos números que sean alguna potencia de $3$ no debería haber ningún factor de $2$ desde $2^q \ne 9 = 3^2$ para cualquier $q \in \mathbb{Q}^+$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

Bueno, es una relación de equivalencia:

1. La reflexividad: $m\sim m$ ya que para $q=1$ , $m^q=m$ .

2. Simetría: Si $m\sim n$ es decir, $m^q=n$ para algún número racional $q>0$ entonces $n^{1/q}=m$ con $1/q>0$ un número racional y así $n\sim m$ .

3. Transitividad: si $m\sim n$ y $n\sim k$ es decir, $m^q=n$ y $n^p=k$ para algunos números racionales $p,q>0$ entonces $k=(m^q)^p = m^{pq}$ con $pq>0$ un número racional y por tanto con simetría $m\sim k$ .