Resolver la ecuación polinómica de una forma especial.

Question

Se sabe que no existe un método general para resolver polinomios de orden superior a 5. Sin embargo, se han conocido algunas ecuaciones de las formas especiales para resolver. Mientras estudiaba hoy, me he enfrentado a los siguientes problemas.

$Ax^{n}+Bx^{m}=C$

donde $n > m >0$ , $A$ , $B$ y $C$ son constantes.

Mi intento está aquí. Deja que $y = x^m$ entonces $x^n$ puede reescribirse como $y^p$ para algunos $p>0$ . por lo que el problema se convierte en

$Ay^p+By =C$

Ya no sé qué hacer. He intentado hacer el cambio de variables pero no lo he conseguido. ¿Tiene esta ecuación una solución? Si es así, ¿quién puede ofrecerme algún consejo útil? Gracias por leer.

Answer 1

Lamentablemente, no hay un enfoque general. Puedes buscar raíces racionales e intentar factorizar el polinomio; o a veces, si tienes mucha suerte, puedes encontrar una sustitución inteligente que convierta el polinomio en uno en el que todas las potencias de la incógnita tengan un divisor común, de modo que reduzcas el grado del polinomio (esta es la esencia del truco que hay detrás de la fórmula de Cardano para resolver cúbicos).

Pero incluso para algo tan simple como $-x^5 + x =1$ no hay solución en términos de radicales.