¿Cómo puedo calcular el Wronskian después de encontrar la solución de una EDO que satisface 2 condiciones iniciales?

Question

En la pregunta, primero me dieron la siguiente ecuación diferencial y me pidieron que calculara la solución.

$$\frac {\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^2} + 2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + 5x = 0$$

Después, he encontrado la solución que satisface las condiciones iniciales $x(0) = 1$ y $x'(0) = 1$ .

Mi solución fue $x = e^{-t}\cos(2t) + e^{-t}\sin(2t)$ .

Pero ahora no sé cómo calcular el Wronskian a partir de la solución.

Si alguien pudiera indicarme la dirección correcta sería de gran ayuda. Gracias.

Answer 1

Utiliza la fórmula del Wronskian: $$W=x_1x'_2-x_1'x_2$$ Dónde $x_1=e^{-t}\cos (2t)$ y $x_2=e^{-t}\sin (2t)$ . O puede resolver fácilmente : $$W'=-2W$$ $$\implies (\ln W)'=-2$$

Answer 2

Antes de aplicar las condiciones iniciales, probablemente tenías una solución general como

$$ x(t) = c_1\exp(-t)\cos(2t) + c_2\exp(-t)\sin(2t) = c_1x_1(t) + c_2x_2(t) $$

El Wronskian es simplemente el determinante

$$W(t) = \begin{vmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{vmatrix} = x_1(t)x_2'(t) - x_1'(t)x_2(t) $$