Equivalencia lógica con →

Question

Se me plantea el problema de demostrar:

$p (q\land r) \equiv (pq) \land(pr)$

Utilizando equivalencias lógicas conocidas. No tengo mucha práctica en la transformación de enunciados lógicos que contienen 's en ellos en otras formas, y estoy un poco perdido, así que:

¿Qué equivalencias lógicas son las mejores para utilizar cuando se presentan "s", ya que sin duda voy a verlos de nuevo pronto y que sería el más adecuado para resolver mi problema.

Gracias.

Answer 1

Simplemente tienes $$p → (q\land r) \equiv p'\lor (q\land r)\\ \equiv (p'\lor q) \land(p'\land r)\\ \equiv (p→q) \land(p→r) $$

Answer 2

Puedes elaborar la tabla de verdad de cada una de estas proposiciones, rellenar las asignaciones y verás que las tablas de verdad son idénticas, lo que significa que estas proposiciones son efectivamente equivalentes.

De puede utilizar otras equivalencias y simplemente desenrollar y rebobinar la proposición de un extremo a otro, por ejemplo: $$p\rightarrow (q\land r)\equiv \lnot p\lor(q\land r)\equiv \ldots\equiv(p\rightarrow q)\land(p\rightarrow r).$$

(Y os dejo con la tarea de rellenar esos $\ldots$ con las equivalencias necesarias).

Answer 3

Para cualquier otra persona del futuro.

Sólo recuerda que para deshacerse de la flecha de la derecha, esta es una equivalencia fácil de recordar: $p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q$

Básicamente se utiliza un operador de negación en todo el lado izquierdo, y sólo se utiliza un operador or en lugar de la flecha. El lado derecho permanece igual.

Lo mismo ocurre con los paréntesis. $(p \wedge r) \rightarrow q \equiv \neg(p \wedge r) \vee q$ . A partir de ahí, sólo hay que aplicar la Ley de De Morgan.