Forma diferencial vs Hiperreal vs Número doble

Question

Las formas diferenciales, los hiperreales y los números duales parecen hacer algo parecido: formalizar la noción de infinitesimal.

¿Cómo se relacionan entre sí y en qué se diferencian? Sé que los hiperreales son una especie de "extensión" de los números reales a través del análisis no estándar, pero ¿en qué se diferencia esto de lo que hacen los números duales? Del mismo modo, las formas diferenciales parecen ser capaces de generalizar a dimensiones superiores, ¿es esto algo que los hiperreales no pueden hacer?

Answer 1

El números dobles son útiles tanto en física como en matemáticas, incluyendo el desarrollo de la teoría de Álgebras de Lie . En campos como el análisis y la geometría diferencial, los números duales son de utilidad limitada porque no tienen una serie de propiedades que poseen los sistemas numéricos más avanzados como el hiperreales .

Los números duales no pueden incluirse en los hiperreales debido a las propiedades peculiares de los números duales que los hacen útiles en la física, por ejemplo, $\epsilon^2=0$ que no puede satisfacerse en los hiperreales ya que estos últimos forman un campo.

Cuando Riemann desarrolló originalmente un campo hoy llamado geometría de Riemann, definió una métrica como una suma ponderada de expresiones cuadráticas en las diferenciales $dx^i$ donde cada $dx^i$ es un incremento infinitesimal de la coordenada $x^i$ .

Las expresiones de la forma $dx^i$ fueron finalmente reinterpretados en un infinitesimal-frei como secciones del haz cotangente en el colector. Este es un tema más avanzado que el cálculo infinitesimal.

Answer 2

Creo que la notación puede causar confusión:

Las formas diferenciales no son cantidades infinitesimales, aunque la notación (por ejemplo, dx) pueda sugerir incorrectamente lo contrario. La d que precede a dx representa la derivada exterior y no debe confundirse con la d que precede a un infinitesimal, por ejemplo dX. Como forma dx es una función lineal que toma un vector como argumento y escupe un número real finito.